Definicja

Równaniem kwadratowym z niewiadomą $x$ nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a$, $b$ i $c$ są ustalonymi liczbami oraz $a\ne 0$.

Dziedziną równania kwadratowego jest $D=\mathbb{R}$.

 

(Zobaczymy najpierw jak rozwiązywać proste równania kwadratowe, czyli na przykład takie które mają postać ax^2+c=0 albo ax^2+bx)

 

Przykład 1. Rozwiąż równanie:

a) $2x^2-2=70$

$2x^2=72|:2$

$x^2=36$

(Zastanawiamy się jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam 36)

$x=6\text{lub}x=-6$

(bo mamy dwie liczby -6, 6, których kwadrat jest równy 36)

$x\in \left\{-6,6\right\}$

 

b) $\frac{15+x^2}{2}+5=0$

$\frac{15+x^2}{2}=-5|\cdot 2$

$15+x^2=-10$

$x^2=-25$

Równanie sprzeczne.

 

c) $7x^2-2x=0$

Z wyrażenia 7x^2-2x możemy wyłączyć x przed nawias i dzięki temu otrzymamy iloczyn dwóch wyrażeń

$x\left(7x-2\right)=0$

$x=0\text{lub}7x-2=0$

$7x=2|:7$

$x=\frac{2}{7}$

$x\in \left\{0,\frac{2}{7}\right\}$

 

d) ${\left(x+2\right)}^2=25$

$x+2=5\text{lub}x+2=-5$

$x=3x=-7$

$x\in \left\{-7,3\right\}$

 

e)  ${\left(2x-12\right)}^2+16=0$

${\left(2x-12\right)}^2=-16$

Równanie sprzeczne.

 

 

Twierdzenie

Równanie kwadratowe $a{x}^2+bx+c=0$, gdzie $a\ne 0$ oraz $\Delta =b^2-4ac$:

• dla $\Delta >0$ ma dwa rozwiązania postaci:
  $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$     i     $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$
• dla $\Delta =0$ ma jedno rozwiązanie postaci:
  $x_0=-\frac{b}{2a}$
• dla $\Delta <0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych

(Korzystając z tego twierdzenia możemy rozwiązać dowolne równanie kwadratowe. Również te, które omówiliśmy w przykładzie pierwszym. Pokazaliśmy tam znacznie szybsze sposoby na ich rozwiązanie, ale gdybyście czegoś nie zauważyli, to z podanego twierdzenia można zawsze skorzystać.)

 

Przykład 2. Rozwiąż równanie.

a) $\underset{a=4}{\underbrace{4x^2}}\underset{b=-13}{\underbrace{-13x}}\underset{c=3}{\underbrace{+3}}=0$

$\Delta ={\left(-13\right)}^2-4\cdot 4\cdot 3=169-48=121\to \sqrt{\Delta }=\sqrt{121}=11$

$x_1=\frac{-\left(-13\right)-11}{2\cdot 4}=\frac{13-11}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

$x_2=\frac{-\left(-13\right)+11}{2\cdot 4}=\frac{13+11}{8}=\frac{24}{8}=3$

$x\in \left\{\frac{1}{4},3\right\}$

b) $\underset{a=11}{\underbrace{11x^2}}\underset{b=1}{\underbrace{+x}}\underset{c=5}{\underbrace{+5}}=0$

$\Delta =1^2=4\cdot 11\cdot 5=1-220=-219<0$

Brak rozwiązań rzeczywistych.

c) $\underset{a=4}{\underbrace{4x^2}}\underset{b=-12}{\underbrace{-12x}}\underset{c=9}{\underbrace{+9}}=0$

$\Delta ={\left(-12\right)}^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0$

$x_0=-\frac{-12}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$

$x=1\frac{1}{2}$

II sposób

$4x^2-12x+9=0$

${\left(2x\right)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=0$

${\left(2x-3\right)}^2=0$

$2x-3=0$

$2x=3|:2$

$x=\frac{3}{2}$

$x=1\frac{1}{2}$

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $3x^2+x-4=0$

A. nie ma pierwiastków rzeczywistych.

B. ma dwa pierwiastki całkowite.

C. ma dwa pierwiastki dodatnie.

D. ma dwa pierwiastki o przeciwnych znakach.

Rozwiązanie

$\Delta =1^2-4\cdot 3\cdot \left(-4\right)=1+48=49\to \sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{-1-7}{2\cdot 3}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}$

$x_2=\frac{-1+7}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1$

$x\in \left\{-1\frac{1}{3},1\right\}$

 

---

 

 

Zadanie x. Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A - E.

x.1.	Równaniem kwadratowym, który nie ma pierwiastków rzeczywistych jest	E
x.2.	Równaniem kwadratowym, który ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty jest	C

A.  $2\left(x-3\right)\left(x+9\right)=0$

B.  $x^2-12=0$

C.  $x^2+10x+25=0$

D.  ${\left(x-3\right)}^2-1=0$

E. ${\left(x-3\right)}^2+1=0$

Rozwiązanie

A.  $2\left(x-3\right)\left(x+9\right)=0|:2$

$\left(x-3\right)\left(x+9\right)=0$

$x-3=0\text{lub}x+9=0$

$x=3x=-9$

$x\in \left\{-9,3\right\}$

B.  $x^2-12=0$

$x^2=12$

$x=\sqrt{12}\text{lub}x=-\sqrt{12}$

$x=2\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}$

$x\in \left\{-2\sqrt{3},2\sqrt{3}\right\}$

C.  $x^2+10x+25=0$

$x^2+2\cdot x\cdot 5+5^2=0$

${\left(x+5\right)}^2=0$

$x+5=0$

$x=-5$

D.  ${\left(x-3\right)}^2-1=0$

${\left(x-3\right)}^2=1$

$x-3=1\text{lub}x-3=-1$

$x=4x=2$

E.  ${\left(x-3\right)}^2+1=0$

${\left(x-3\right)}^2=-1$

Równanie sprzeczne.