Definicja

Równaniem kwadratowym z niewiadomą nazywamy równanie, które można zapisać w postaci , gdzie , i są ustalonymi liczbami oraz .

Dziedziną równania kwadratowego jest .

(Zobaczymy najpierw jak rozwiązywać proste równania kwadratowe, czyli na przykład takie które mają postać ax^2+c=0 albo ax^2+bx)

Przykład 1. Rozwiąż równanie:

a)

(Zastanawiamy się jaka liczba podniesiona do kwadratu da nam 36)

(bo mamy dwie liczby -6, 6, których kwadrat jest równy 36)

b)

Równanie sprzeczne.

c)

Z wyrażenia 7x^2-2x możemy wyłączyć x przed nawias i dzięki temu otrzymamy iloczyn dwóch wyrażeń

d)

e)

Równanie sprzeczne.

Twierdzenie

Równanie kwadratowe , gdzie oraz :

dla ma dwa rozwiązania postaci:
i
dla ma jedno rozwiązanie postaci:
dla nie ma rozwiązań rzeczywistych

(Korzystając z tego twierdzenia możemy rozwiązać dowolne równanie kwadratowe. Również te, które omówiliśmy w przykładzie pierwszym. Pokazaliśmy tam znacznie szybsze sposoby na ich rozwiązanie, ale gdybyście czegoś nie zauważyli, to z podanego twierdzenia można zawsze skorzystać.)

Przykład 2. Rozwiąż równanie.

a)

b)

Brak rozwiązań rzeczywistych.

c)

II sposób

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

A. nie ma pierwiastków rzeczywistych.

B. ma dwa pierwiastki całkowite.

C. ma dwa pierwiastki dodatnie.

D. ma dwa pierwiastki o przeciwnych znakach.

Rozwiązanie

Zadanie x. Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A - E.

x.1.	Równaniem kwadratowym, który nie ma pierwiastków rzeczywistych jest	E
x.2.	Równaniem kwadratowym, który ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty jest	C

A.

B.

C.

D.

E.

Rozwiązanie

A.

B.

C.

D.

E.

Równanie sprzeczne.