(1)

Definicja:

Równaniem liniowe - równanie, które można sprowadzić do postaci

$ax+b=0,a,b\in \mathbb{R}$

$a,b$ - ustalone liczby

$x$ - niewiadoma

Dziedzina: $D=\mathbb{R}$

(Niektóre równania, gdzie niewiadoma wystepuje w potędze 2, 3, 4 itd, też mogą być równaniami liniowymi, ale widać to po ich uproszczeniu)

(2)

Przykłady równań liniowych:

$7x+4=3\left(x-2\right)$

$2x-4+x=3\left(x-1\right)$

$\frac{4-x}{2}=\frac{3x+5}{4}$

(3)

Jak rozwiązywać równania liniowe?

Przekształcamy równanie w taki sposób, aby po jego lewej stronie była wyłącznie niewiadoma x, a po prawej stronie liczba.

(4)

Dozwolone przekształcenia:

• dodawanie lub odejmowania od obu stron równania tej samej liczby (tego samego wyrażenia) 

(5)

• mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez tę samą liczbę

(6)

Przykład 1.

Rozwiąż równanie:

$5x+6-x=2\left(3-x\right)-12$

(7)

Opuszczamy nawiasy po prawej stronie równania:

$5x+6-x=6-2x-12$

(8)

Redukujemy wyrazy podobne:

$4x+6=-2x-6$

(9)

$4x+2x=-6-6$

(10)

$6x=-12|:6$

(11)

$x=-2$

 

 

---

 

 

 

Zadanie x. Dane jest równanie $x\left(x+3\right)+12=x\left(x-2\right)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązanie podanego równania należy do przedziału

A.  $\left(-3,-2\right)$                    B.  $\left(-2,-1\right)$                     C.  $\left(1,2\right)$                    D.  $\left(2,3\right)$

Rozwiązanie

$x\left(x+3\right)+12=x\left(x-2\right)$

$x^2+3x+12=x^2-2x$

$3x+12=-2x$

$5x=-12|:5$

$x=-\frac{12}{5}$

$x=-2\frac{2}{5}\in \left(-3,-2\right)$

 

---

 

 

jako przykład:

 

$x\sqrt{5}-\sqrt{5}=10-x$

$x\sqrt{5}+x=15$

$x\left(\sqrt{5}+1\right)=15|\cdot \left(\sqrt{5}+1\right)$

$x=\frac{15}{\sqrt{5}+1}\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}=\frac{15\left(\sqrt{5}-1\right)}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-1^2}=\frac{15\sqrt{5}-15}{4}$

$x=\frac{15\sqrt{5}-15}{4}$

 

---

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3}-1=-2x$ jest liczba

A.  $\sqrt{3}-2$                    B.  $2-\sqrt{3}$                    C.  $\left(-\sqrt{3}-2\right)$                    D.  $2+\sqrt{3}$

Rozwiązanie

$x\sqrt{3}-1=-2x$

$x\sqrt{3}+2x=1$

$x\left(\sqrt{3}+2\right)=1|:\left(\sqrt{3}+2\right)$

$x=\frac{1}{\sqrt{3}+2}\cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}-2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-2^2}=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}=-\sqrt{3}+2=2-\sqrt{3}$

$x=2-\sqrt{3}$

 

 

---

 

 

 

Zadanie x. Dane jest równanie $\left(m^2-9\right)x=m^2-3m$ z niewiadomą $x$, gdzie $m$ jest pewną liczbą rzeczywistą.

Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź A, B lub C i poprawne uzasadnienie spośród 1,2 i 3.

Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór pusty wtedy, gdy

A.	$m=-3$,	ponieważ równanie to ma wtedy postać	1.	$0\cdot x=18$.
B.	$m=0$,		2.	$-9\cdot x=0$.
C.	$m=3$,		3.	$0\cdot x=0$.

Rozwiązanie

Dla $m=-3$ mamy równanie:

$\left({\left(-3\right)}^2-9\right)x={\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)$

$\left(9-9\right)x=9+9$

$0x=18$

$0=18$

Równanie sprzeczne.

(dla m=0 i m=-3 otrzymujemy równania -9x=0, czyli mamy wtedy jedno rozwiązanie równe zero, a równanie 0x=0 jest tozsamosciowe)