Definicja

Liczbami wymiernymi nazywamy liczby, które można zapisać w postaci ułamka $\frac{m}{n}$, gdzie $m$ i $n\ne 0$ są liczbami całkowitymi.

Definicja

Liczby, które nie są wymierne nazywamy liczbami niewymiernymi. 

(Mówiąc, że liczba pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną mamy na myśli to, że pierwiastkowi z dwóch nie jest równy żaden ułamek m/n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi.)

Przykłady liczb niewymiernych

$\sqrt{2},\sqrt{7},\pi ,2+\sqrt{6},\frac{1}{3}\sqrt{13},3\sqrt{2}-\frac{7}{9}$

Definicja

Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywamy zbiorem liczb rzeczywistych. 

 

---

 

Przykład 1. Wśród podanych liczb wskaż liczby całkowite, wymierne i niewymierne. 

$a=\frac{\pi }{4}\to$   liczba niewymierna

$b=\frac{\sqrt{5}}{3}\to$   liczba niewymierna

$c=\frac{1}{2}\sqrt{4}-\sqrt{121}=\frac{1}{2}\cdot 2-11=1-11=-10\to$   liczba całkowita, liczba wymierna

$d=\sqrt{2+\sqrt{4}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\to$   liczba całkowita, liczba wymierna (KOM: Liczba całkowita, a więc i wymierna.)

$e=\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\to$   liczba wymierna

---

 

 

Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej

Ułamkami dziesiętnymi nazywamy ułamki o mianownikach $10,100,1000,\dots$.
Przykłady:

$\frac{25}{100}=0,25$

$\frac{48}{1000}=0,048$

$3\frac{9}{10}=3,9$

Zaznaczone zapisy nazywamy postacią dziesiętną lub rozwinięciem dziesiętnym liczby.

Chcąc uzyskać postać dziesiętną liczby wymiernej wykonujemy dzielenie.

$\frac{15}{4}=15:4=3,75$

$\frac{1}{6}=1:6=0,1666\dots =0,1\left(6\right)$

(Takie nieskończone rozwinięcie zapisujemy w następujący sposób. W rozwinięciu dziesiętnym nawias oznacza powtarzanie się zapisanych w nawiasie cyfr nieskończenie wiele razy. Cyfry w nawiasie nazywamy okresem.)

---

 

Uwagi

Każdą liczbę wymierną możemy zapisać w postaci dziesiętnej skończonej lub okresowej.

Każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną.

Rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe przedstawia liczbę niewymierną.

Przykłady

1. Liczba $\frac{2}{3}=0,\left(6\right)$ ma rozwinięcie dziesiętne okresowe.
2. Liczba $\frac{5}{8}=0,625$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
3. Liczba $0,101001000100001\dots$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, czyli jest liczbą niewymierną. 

---

Przykład 2. Przedstaw liczbę $0,\left(13\right)$ w postaci ułamka zwykłego. 

$x=0,\left(13\right)$

$x=0,131313\dots |\cdot 100$ (Obie strony tego równania mnożymy przez 100, aby przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu.)

$100x=13,1313\dots$

$100x=13+\underset{=x}{\underbrace{0,131313\dots }}$

$100x=13+x$

$99x=13|:99$

$x=\frac{13}{99}$

Odp.: $0,\left(13\right)=\frac{13}{99}$

---

Reguła zaokrąglania

W celu zaokrąglenia liczby zapisanej w postaci dziesiętnej stosujemy regułę zaokrąglania. Polega ona na odrzuceniu określonych końcowych cyfr tej liczby i zastąpieniu ich zerami. Przy czym: 

• gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest $0,1,2,3,4$, to ostatnią z pozostawionych cyfr zostawiamy bez zmian,
• gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest $5,6,7,8,9$, to ostatnią z pozostawionych cyfr zwiększamy o jeden. 

Przykład x. 

a) Zaokrągleniem liczby $12749$ do dziesiątek wynosi $12750$.
Zaokrągleniem liczby $12749$ do setek wynosi $12700$.
Zaokrągleniem liczby $12749$ do tysięcy wynosi $13000$.

b) Zaokrągleniem liczby $8,7654$ do trzech miejsc po przecinku wynosi $8,765$. (dodanie kreski między 6 i 5 itd)
Zaokrągleniem liczby $8,7654$ do dwóch miejsc po przecinku wynosi $8,77$.
Zaokrągleniem liczby $8,7654$ do jednego miejsca po przecinku wynosi $8,8$.
Zaokrągleniem liczby $8,7654$ do liczby wynosi $9$.

---

 

 

Zadanie x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Największą liczbą naturalną $n$ spełniającą nierówność $n<\sqrt[3]{2025}$ jest liczba $11$.	P	F
Zaokrągleniem liczby $\sqrt[4]{2025}$ z dokładnością do części setnych jest liczba $6,70$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

$\sqrt[3]{1728}<\sqrt[3]{2025}<\sqrt[3]{2197}$

$12<\sqrt[3]{2025}<13$

Liczba $12$ jest największą liczbą naturalną spełniającą nierówność $n<\sqrt[3]{2025}$. fałsz

Zdanie drugie

$\sqrt[4]{2025}=\sqrt{\sqrt{2025}}$

$\sqrt{\sqrt{2025}}=\sqrt{45}=6,708203\dots$

Zaokrąglenie podanej liczby z dokładnością do części setnych:

$\sqrt[4]{2025}=6,708203\dots \approx 6,71\ne 6,70$fałsz (pionowa kreska po 0 i podkreślone 8 ???)

 

---

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwinięcie dziesiętne nieskończone $0,\left(25\right)$ przedstawia liczbę

A.  niewymierną                 B.  $\frac{1}{4}$                   C.  $\frac{25}{99}$                   D.  $\frac{25}{101}$

Rozwiązanie

$x=0,\left(25\right)$

$x=0,252525\dots |\cdot 100$ (Obie strony tego równania mnożymy przez 100, aby przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu.)

$100x=25,2525\dots$

$100x=25+\underset{=x}{\underbrace{0,252525\dots }}$

$100x=25+x$

$99x=25|:99$

$x=\frac{25}{99}$

$0,\left(25\right)=\frac{25}{99}$