Definicja

Liczbami wymiernymi nazywamy liczby, które można zapisać w postaci ułamka , gdzie i są liczbami całkowitymi.

Definicja

Liczby, które nie są wymierne nazywamy liczbami niewymiernymi.

(Mówiąc, że liczba pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną mamy na myśli to, że pierwiastkowi z dwóch nie jest równy żaden ułamek m/n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi.)

Przykłady liczb niewymiernych

Definicja

Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywamy zbiorem liczb rzeczywistych.

Przykład 1. Wśród podanych liczb wskaż liczby całkowite, wymierne i niewymierne.

liczba niewymierna

liczba niewymierna

liczba całkowita, liczba wymierna

liczba całkowita, liczba wymierna (KOM: Liczba całkowita, a więc i wymierna.)

liczba wymierna

Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej

Ułamkami dziesiętnymi nazywamy ułamki o mianownikach .
Przykłady:

Zaznaczone zapisy nazywamy postacią dziesiętną lub rozwinięciem dziesiętnym liczby.

Chcąc uzyskać postać dziesiętną liczby wymiernej wykonujemy dzielenie.

(Takie nieskończone rozwinięcie zapisujemy w następujący sposób. W rozwinięciu dziesiętnym nawias oznacza powtarzanie się zapisanych w nawiasie cyfr nieskończenie wiele razy. Cyfry w nawiasie nazywamy okresem.)

Uwagi

Każdą liczbę wymierną możemy zapisać w postaci dziesiętnej skończonej lub okresowej.

Każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną.

Rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe przedstawia liczbę niewymierną.

Przykłady

Liczba ma rozwinięcie dziesiętne okresowe.
Liczba ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Liczba ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe, czyli jest liczbą niewymierną.

Przykład 2. Przedstaw liczbę w postaci ułamka zwykłego.

(Obie strony tego równania mnożymy przez 100, aby przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu.)

Odp.:

Reguła zaokrąglania

W celu zaokrąglenia liczby zapisanej w postaci dziesiętnej stosujemy regułę zaokrąglania. Polega ona na odrzuceniu określonych końcowych cyfr tej liczby i zastąpieniu ich zerami. Przy czym:

gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest , to ostatnią z pozostawionych cyfr zostawiamy bez zmian,
gdy pierwszą z odrzuconych cyfr jest , to ostatnią z pozostawionych cyfr zwiększamy o jeden.

Przykład x.

a) Zaokrągleniem liczby do dziesiątek wynosi .
Zaokrągleniem liczby do setek wynosi .
Zaokrągleniem liczby do tysięcy wynosi .

b) Zaokrągleniem liczby do trzech miejsc po przecinku wynosi . (dodanie kreski między 6 i 5 itd)
Zaokrągleniem liczby do dwóch miejsc po przecinku wynosi .
Zaokrągleniem liczby do jednego miejsca po przecinku wynosi .
Zaokrągleniem liczby do liczby wynosi .

Zadanie x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Największą liczbą naturalną spełniającą nierówność jest liczba .	P	F
Zaokrągleniem liczby z dokładnością do części setnych jest liczba .	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

Liczba jest największą liczbą naturalną spełniającą nierówność . fałsz

Zdanie drugie

Zaokrąglenie podanej liczby z dokładnością do części setnych:

fałsz (pionowa kreska po 0 i podkreślone 8 ???)

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwinięcie dziesiętne nieskończone przedstawia liczbę

A. niewymierną B. C. D.

Rozwiązanie

(Obie strony tego równania mnożymy przez 100, aby przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu.)