Definicja

Symetria osiowa względem prostej l to przekształcenie, które każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkowuje punkt do niego symetryczny względem prostej l. Prostą l nazywamy wtedy osią symetrii.

Zajmiemy się tylko symetrią osiową względem osi i układu współrzędnych.

W pierwszym temacie tego działu omówiliśmy już symetryczne odbijanie punktu względem osi układu współrzędnych

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt .

Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi , otrzymujemy punkt
o współrzędnych .
Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi , otrzymujemy punkt
o współrzędnych .

Przykład 1. Punktem symetrycznym do punktu względem osi jest punkt .

rys.

Definicja

Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie, które każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkowuje punkt do niego symetryczny względem punktu O.
Punkt O nazywamy środkiem symetrii.

Zajmiemy się symetrią względem punktu , będącego początkiem układu współrzędnych.

W pierwszym temacie tego działu omówiliśmy już symetryczne odbijanie punktu względem początku układu współrzędnych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt . Odbijając ten punkt symetrycznie względem początku układu współrzędnych (czyli względem punktu ), otrzymujemy punkt o współrzędnych .

Przykład 2. Punktem symetrycznym do punktu względem początku układu współrzędnych jest punkt .

rys.

Symetria osiowa i symetria środkowa są przekształceniem, które nie zmieniają odległości między punktami, dlatego obrazem dowolnej figury w symetrii osiowej lub środkowej będzie figura do niej przystająca.

Na przykład obrazem dowolnego czworokąta będzie czworokąt do niego przystający, a obrazem okręgu będzie okrąg o takim samym promieniu.

Przykład 3. Wyznacz równanie okręgu, który jest symetryczny względem początku układu współrzędnych do okręgu .

Rozwiązanie

Okrąg

Zajmijmy się na początku okręgiem . Analizując równanie okręgu widoczne po prawej stronie widzimy, że jego środek ma współrzędne -1 i 5, a promień ma długość 4, bo jest to pierwiastek z szesnastu.

Środkiem okręgu O prim będzie punkt symetryczny do środka okręgu O. Nazwijmy go S prim. Obrazem punktu S w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych 1 i -5. Więc takie współrzędne ma punkt S'. Pamiętamy, że symetria środkowa zachowuje odległości, dlatego promień okręgu o prim to też 4.

Wstawiamy teraz współrzędne środka i długość promienia do równania okręgu i mamy: x odjąć 1 w nawiasie do drugiej dodać y dodać 5 w nawiasie do drugiej równa się 16.

po prawej:

1.

Definicja

Równanie kanoniczne okręgu o środku i promieniu , gdzie to:

słowo “Definicja” na zielono, ten box w zielonej ramce

2.

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt . Odbijając ten punkt symetrycznie względem początku układu współrzędnych (czyli względem punktu ), otrzymujemy punkt o współrzędnych .

Zadanie 1. W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg o równaniu oraz okrąg symetryczny do niego względem osi .

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A-D oraz E-H.

1.1. Okrąg opisany jest równaniem

A. B. C. D.

1.2. Odległość pomiędzy środkami okręgów i jest równa

E. F. G. H.

Rozwiązanie

rys.

Okrąg

Ale można to było od razu zauważyć analizując rysunek....

po prawej:

Twierdzenie

Długość odcinka o końcach w punktach i jest równa:

słowo “Twierdzenie” na niebiesko, ten box w niebieskiej ramce

Zadanie 2. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest trójkąt o wierzchołkach: , , oraz trójkąt symetryczny do trójkąta względem początku układu współrzędnych.

Uzupełnij poniższe zdanie wpisując odpowiednią liczbę rzeczywistą.

Pole części wspólnej trójkątów i wynosi .................... .

Rozwiązanie

rysunek po prawej (już na dysku)

Pole części wspólnej trójkątów i wynosi .