całość-Symetria - Zadanie całość-Symetria : Kurs maturalny z matematyki podstawowej

Rozwiązanie

Definicja

Symetria osiowa względem prostej l to przekształcenie, które każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkowuje punkt do niego symetryczny względem prostej l. Prostą l nazywamy wtedy osią symetrii.

Zajmiemy się tylko symetrią osiową względem osi $O x$ i $O y$ układu współrzędnych.

W pierwszym temacie tego działu omówiliśmy już symetryczne odbijanie punktu względem osi układu współrzędnych

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt $P = (x, y)$ .

Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi $O x$ , otrzymujemy punkt
o współrzędnych $(x, - y)$ .
Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi $O y$ , otrzymujemy punkt
o współrzędnych $(- x, y)$ .

Przykład 1. Punktem symetrycznym do punktu $A = (- 2, 1)$ względem osi $O y$ jest punkt $A^{'} = (2, 1)$ .

rys.

Definicja

Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie, które każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkowuje punkt do niego symetryczny względem punktu O.
Punkt O nazywamy środkiem symetrii.

Zajmiemy się symetrią względem punktu $(0, 0)$ , będącego początkiem układu współrzędnych.

W pierwszym temacie tego działu omówiliśmy już symetryczne odbijanie punktu względem początku układu współrzędnych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt $P = (x, y)$ . Odbijając ten punkt symetrycznie względem początku układu współrzędnych (czyli względem punktu $O = (0, 0)$ ), otrzymujemy punkt o współrzędnych $(- x, - y)$ .

Przykład 2. Punktem symetrycznym do punktu $A = (- 2, 1)$ względem początku układu współrzędnych jest punkt $A^{'} = (2, - 1)$ .

rys.

Symetria osiowa i symetria środkowa są przekształceniem, które nie zmieniają odległości między punktami, dlatego obrazem dowolnej figury w symetrii osiowej lub środkowej będzie figura do niej przystająca.

Na przykład obrazem dowolnego czworokąta będzie czworokąt do niego przystający, a obrazem okręgu będzie okrąg o takim samym promieniu.

Przykład 3. Wyznacz równanie okręgu $O^{'}$ , który jest symetryczny względem początku układu współrzędnych do okręgu $O : (x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$ .

Rozwiązanie

$O : (x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$

$O : (x - (- 1))^{2} + (y - 5)^{2} = 16$

$S = (- 1, 5)$

$r = 16 = 4$

Okrąg $O^{'} :$

$S^{'} = (1, - 5)$

$r^{'} = 4$

$(x - 1)^{2} + (y - (- 5))^{2} = 16$

$(x - 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 16$

Zajmijmy się na początku okręgiem $O$ . Analizując równanie okręgu widoczne po prawej stronie widzimy, że jego środek ma współrzędne -1 i 5, a promień ma długość 4, bo jest to pierwiastek z szesnastu.

Środkiem okręgu O prim będzie punkt symetryczny do środka okręgu O. Nazwijmy go S prim. Obrazem punktu S w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych 1 i -5. Więc takie współrzędne ma punkt S'. Pamiętamy, że symetria środkowa zachowuje odległości, dlatego promień okręgu o prim to też 4.

Wstawiamy teraz współrzędne środka i długość promienia do równania okręgu i mamy: x odjąć 1 w nawiasie do drugiej dodać y dodać 5 w nawiasie do drugiej równa się 16.

po prawej:

Definicja

Równanie kanoniczne okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ , gdzie $r > 0$ to:
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

słowo “Definicja” na zielono, ten box w zielonej ramce

Zadanie 1. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $K$ o równaniu $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ oraz okrąg $K^{'}$ symetryczny do niego względem osi $O x$ .

Dokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A-D oraz E-H.

1.1. Okrąg $K^{'}$ opisany jest równaniem

A. $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$ B. $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ C. $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ D. $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$

1.2. Odległość pomiędzy środkami okręgów $K$ i $K^{'}$ jest równa

E. $16$ F. $4$ G. $9$ H. $6$

Rozwiązanie

rys.

$K : (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 9$

$S = (3, - 2)$

$r = 3$

Okrąg $K^{'} :$

$S^{'} = (3, 2)$

$r^{'} = 3$

$(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$

$∣ S S^{'} ∣ = (3 - 3)^{2} + (2 + 2)^{2} = 16 = 4$

Ale można to było od razu zauważyć analizując rysunek....

po prawej:

Twierdzenie

Długość odcinka $A B$ o końcach w punktach $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ jest równa:
$∣ A B ∣ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$

słowo “Twierdzenie” na niebiesko, ten box w niebieskiej ramce

Zadanie 2. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest trójkąt $A BC$ o wierzchołkach: $A = (- 1, - 1)$ , $B = (6, - 1)$ , $C = (2, 5)$ oraz trójkąt $A^{'} B^{'} C^{'}$ symetryczny do trójkąta $A BC$ względem początku układu współrzędnych.

Uzupełnij poniższe zdanie wpisując odpowiednią liczbę rzeczywistą.

Pole części wspólnej trójkątów $A BC$ i $A^{'} B^{'} C^{'}$ wynosi .................... .

Rozwiązanie

$A^{'} = (1, 1)$ rysunek po prawej (już na dysku)

$B^{'} = (- 6, 1)$

$C^{'} = (- 2, - 5)$

$P = a \cdot h = 1 \cdot 2 = 2$

Pole części wspólnej trójkątów $A BC$ i $A^{'} B^{'} C^{'}$ wynosi $_{.................} 2$ .

Nikola Cziudaj

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.