Zadanie 1. Na poniższym rysunku przedstawiono fragment pewnej prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ o całkowitych współrzędnych.

rys. 1.1 i 1.2 podczas rozwiązania

 

 

 

 

 

 

Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na rysunku. Wybierz odpowiedź spośród podanych.

A. $-2x+3y+7=0$       B. $3x+2y-11=0$       C. $2x+3y-11=0$      D. $-2x+3y-7=0$

Rozwiązanie sposób 1 -> układ równań,

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=\left(1,3\right)$ i $B=\left(4,1\right)$:

$y=ax+b$

$-\underline{\{\begin{array}{l}3=a+b\\ 1=4a+b\end{array}}$

     $2=-3a|:(-3)$

     $a=-\frac{2}{3}$

   $\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ 3=-\frac{2}{3}+b\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ 3+\frac{2}{3}=b\end{array}$

   $\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=3\frac{2}{3}\end{array}$

$y=-\frac{2}{3}x+3\frac{2}{3}$

$y=-\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}|\cdot 3$

$3y=-2x+11|+2x-11$

$2x+3y-11=0$

Rozwiązanie  sposób 2-> współczynnik+ punkt

---

 

 

Zadanie 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są proste $k$ i $l$. Prosta $k$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $60^{\circ }$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $\left(0,-2\sqrt{3}\right)$, natomiast o prostej $l$ wiadomo, że jest równoległa do prostej $k$ .

Zadanie 2.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta $k$ ma równanie

A. $y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$              B. $y=-2\sqrt{3}x+\sqrt{3}$                   C. $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-2\sqrt{3}$              D. $y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$

Rozwiązanie

$y=ax+b$

 $a=\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$

$b=-2\sqrt{3}$

$y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$

2.2. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz w wykropkowane miejsce odpowiednią liczbę tak, aby zdanie było prawdziwe. 

 Sinus kąta nachylenia prostej $l$ do osi $Ox$ jest równy ........................ .

 Rozwiązanie

 $a=\sqrt{3}=\mathrm{tg}60^{\circ }$

$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus kąta nachylenia prostej $l$ do osi $Ox$ jest równy $\stackrel{\frac{\sqrt{3}}{2}}{{}_{...................}}$ .

---

Zadanie 3. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$, dane są punkty $A=\left(4,18\right)$, $B=\left(-15,-20\right)$. Prosta $AB$ przecina oś $Ox$ w punkcie $Q$.

Oblicz pierwszą współrzędną punktu $Q$.

Rozwiązanie

Wyznaczymy równanie prostej $AB$:

$y=ax+b$

$\{\begin{array}{l}18=4a+b\\ -20=-15a+b\end{array}$

Odejmujemy równania stronami.

$38=19a|:19$

$a=2$

$\{\begin{array}{l}a=2\\ -20=-15\cdot 2+b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=2\\ -20=-30+b|+30\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=10\end{array}$

$y=2x+10$

Punkt przecięcia tej prostej z osią $Ox$: $Q=\left(x,0\right)$

$0=2x+10$

$-2x=10|:(-2)$

$x=-5$

$Q=\left(-5,0\right)$

Odp.: Pierwsza współrzędna punktu $Q$ to $-5$.