Twierdzenie

Dane są dwie proste o równaniach ogólnych: $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$, $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$. Są one:

• równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1\cdot B_2-A_2\cdot B_1=0$
• prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2=0$

Przykład 2. Dane są proste $l$ i $k$ o równaniach: $2mx-4y+3=0$ i $-12x-3y-6=0$.

$A_1=2m$, $A_2=-12$, $B_1=-4$, $B_2=-3$

Proste te są równoległe, gdy:                                               Proste te są prostopadłe, gdy:

 $2m\cdot \left(-3\right)-\left(-12\right)\cdot \left(-4\right)=0$                                                  $2m\cdot \left(-12\right)+\left(-4\right)\cdot \left(-3\right)=0$

$-6m-48=0$                                                                           $-24m+12=0$

$-6m=48|:(-6)$                                                                $24m=12|:24$

$m=-8$                                                                                       $m=\frac{1}{2}$