Prostopadłość usunięte wyznaczeni prostej prostopadłej.

---

Twierdzenie

Dane są dwie proste o równaniach: $y=a_{1}x+b_1$, $y=a_{2}x+b_2$. Są one:

• równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1=a_2$
• prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1\cdot a_2=-1$

Przykład 1. Dane są proste $l$ i $k$ o równaniach:

$k:y=-2x-4$

$l:y=\left(3-k\right)x+1$

Proste $l$ i $k$ są równoległe, gdy:

 $-2=3-k$

$-2-3=-k$

$-5=-k$

$k=5$

Proste $l$ i $k$ są prostopadłe, gdy:

$-2\cdot \left(3-k\right)=-1$

$-6+2k=-1$

$2k=-1+6$

$2k=5$

$k=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$

---

Omówimy jeszcze twierdzenie dotyczące równoległości i prostopadłości prostych, które dane są równaniami ogólnymi.

Więc są one równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następująca zależność:...

A są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi zależność:...

Twierdzenie

Dane są dwie proste o równaniach ogólnych: $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$, $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$. Są one:

• równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1\cdot B_2-A_2\cdot B_1=0$
• prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2=0$

Przykład 2. Dane są proste $l$ i $k$ o równaniach:

$k:2mx-4y+3=0$

$l:-12x-3y-6=0$

$A_1=2m$, $A_2=-12$, $B_1=-4$, $B_2=-3$

Proste $l$ i $k$ są równoległe, gdy:

 $2m\cdot \left(-3\right)-\left(-12\right)\cdot \left(-4\right)=0$

$-6m-48=0$

$-6m=48|:(-6)$

$m=-8$

 

Jak widzicie przedstawione równości są dużo bardziej skomplikowane niż w przypadku prostych podanych w postaci kierunkowej. Wzory te są oczywiście w kartach wzorów, natomiast nie musicie z nich w ogóle korzystać, ponieważ możecie zawsze zamienić postać ogólną na kierunkową i potem stosować warunki równoległości i prostopadłości właśnie dla postaci kierunkowej.

 

---

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste o równaniach $y=-5x+6$ oraz $y=\frac{10-k}{3}x+\frac{2}{3}$ są równoległe, gdy

A. $k=-25$                       B. $k=-5$                            C. $k=5$                        D. $k=25$

 Rozwiązanie

$-5=\frac{10-k}{3}|\cdot 3$

$-15=10-k|-10$

$-25=-k$

$k=25$

---

Zadanie 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ proste $k$ i $l$ określone równaniami:

$k:y=\frac{-3k+1}{2}x-2k$

 $l:y=-8x-6$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste $k$ i $l$ są prostopadłe, gdy

A. $k=3$                       B. $k=\frac{1}{4}$                            C. $k=\dots$                        D. $m=..$

 Rozwiązanie

sposób 1

$\frac{-3k+1}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{\left(-8\right)}}^{-4}=-1$

$\left(-3k+1\right)\cdot \left(-4\right)=-1$

$12k-4=-1|+4$

$12k=3|:12$

$k=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

sposób 2

$\frac{-3k+1}{2}=\frac{1}{8}|\cdot 8$

$4\left(-3k+1\right)=1$

$-12k+4=1|-4$

$-12k=-3|:\left(-12\right)$

$k=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

---

Po prawej:

Jeśli prosta przechodzi przez punkt $P=\left(x_p,y_p\right)$, to możemy wstawić do równania w miejsce $x$ pierwszej współrzędnej tego punktu, a w miejsce $y$ - drugą jego współrzędną.

 

Zadanie 3. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dana jest prosta $l$ o równaniu $y=3x-2$.

Uzupełnij zdania. Wpisz w każde puste miejsce jedną z odpowiedzi A–F tak, aby zdania było prawdziwe.

Jedną z prostych prostopadłych do prostej $l$ jest prosta o równaniu ................................... . Prosta równoległa do prostej $l$ i przechodząca przez punkt $P=\left(-3,-12\right)$ dana jest równaniem ......................................... .

A. $y=-3x+5$                                        B. $y=3x-3$                                     C. $y=\frac{1}{3}x-2$
D. $y=-3x-10$                                        E. $y=-\frac{1}{3}x+7$                                 F. $y=3x+1$

Rozwiązanie

Prosta prostopadła do $l$:

$y=ax+b$

$a\cdot 3=-1$

$a=-\frac{1}{3}$

$y=-\frac{1}{3}x+b$

Prosta równoległa do $l$ i przechodząca przez punkt $P=\left(-3,-12\right)$:

$y=ax+b$

$y=3x+b$

$-12=3\cdot \left(-3\right)+b$

$-12=-9+b$

$-12+9=b$

$b=-3$

$y=3x-3$

 

---

Zadanie 4. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$, dany jest trapez $ABCD$, w którym boki $AB$ i $CD$ są równoległe oraz $A=\left(0,1\right)$ . Wierzchołki $C$ i $D$ tego trapezu leżą na prostej $k$ o równaniu $2x+3y+3=0$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Boki $AB$ tego trapezu zawierają się w prostej o równaniu 

A. $y=-\frac{2}{3}x+1$                 B. $y=-\frac{3}{2}x-1$                   C. $y=-\frac{2}{3}x-2$                  D. $y=\frac{3}{2}{x}_{}+1$

Rozwiązanie

Prosta $k$:

$2x+3y+3=0|-2x-3$

 $3y=-2x-3|:3$

$y=-\frac{2}{3}x-1$

Prosta zawierająca boki $AB$:

$y=ax+b$

$y=-\frac{2}{3}x+b$

$A=\left(0,1\right)$

$1=-\frac{2}{3}\cdot 0+b$

$b=1$

$y=-\frac{2}{3}x+1$ "można było od razu zauważyć, że b to 1, korzystając z twierdzenia widocznego teraz po prawej stronie, które mówi, że..."

po prawej

Twierdzenie

Dana jest prosta o równaniu $y=ax+b$. Punkt przecięcia tej prostej z osią $Oy$ to punkt $P=\left(0,b\right)$.

 

opis z poprzedniego, może się przyda:

Aby sprawdzić, czy podane proste są równolegle możemy wykorzystać  twierdzenie dotyczące równoległości i prostopadłości prostych o równaniach ogólnych, ale możemy też najpierw zapisać równania tych prostych w postaci kierunkowej a potem skorzystać z twierdzenia właśnie dla prostych w postaci kierunkowej. Przy okazji będziemy mogli też tę zamianę wykorzystać potem gdy będziemy zajmowali się drugim zdaniem z tabeli.