Prostopadłość usunięte wyznaczeni prostej prostopadłej.

Twierdzenie

Dane są dwie proste o równaniach: , . Są one:

równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

Przykład 1. Dane są proste i o równaniach:

Proste i są równoległe, gdy:

Proste i są prostopadłe, gdy:

Omówimy jeszcze twierdzenie dotyczące równoległości i prostopadłości prostych, które dane są równaniami ogólnymi.

Więc są one równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następująca zależność:...

A są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi zależność:...

Twierdzenie

Dane są dwie proste o równaniach ogólnych: , . Są one:

równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

Przykład 2. Dane są proste i o równaniach:

, , ,

Proste i są równoległe, gdy:

Jak widzicie przedstawione równości są dużo bardziej skomplikowane niż w przypadku prostych podanych w postaci kierunkowej. Wzory te są oczywiście w kartach wzorów, natomiast nie musicie z nich w ogóle korzystać, ponieważ możecie zawsze zamienić postać ogólną na kierunkową i potem stosować warunki równoległości i prostopadłości właśnie dla postaci kierunkowej.

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste o równaniach oraz są równoległe, gdy

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Zadanie 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych proste i określone równaniami:

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste i są prostopadłe, gdy

A. B. C. D.

Rozwiązanie

sposób 1

sposób 2

Po prawej:

Jeśli prosta przechodzi przez punkt , to możemy wstawić do równania w miejsce pierwszej współrzędnej tego punktu, a w miejsce - drugą jego współrzędną.

Zadanie 3. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych dana jest prosta o równaniu .

Uzupełnij zdania. Wpisz w każde puste miejsce jedną z odpowiedzi A–F tak, aby zdania było prawdziwe.

Jedną z prostych prostopadłych do prostej jest prosta o równaniu ................................... . Prosta równoległa do prostej i przechodząca przez punkt dana jest równaniem ......................................... .

A. B. C.
D. E. F.

Rozwiązanie

Prosta prostopadła do :

Prosta równoległa do i przechodząca przez punkt :

Zadanie 4. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych , dany jest trapez , w którym boki i są równoległe oraz . Wierzchołki i tego trapezu leżą na prostej o równaniu .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Boki tego trapezu zawierają się w prostej o równaniu

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Prosta :

Prosta zawierająca boki :

"można było od razu zauważyć, że b to 1, korzystając z twierdzenia widocznego teraz po prawej stronie, które mówi, że..."

po prawej

Twierdzenie

Dana jest prosta o równaniu . Punkt przecięcia tej prostej z osią to punkt .

opis z poprzedniego, może się przyda:

Aby sprawdzić, czy podane proste są równolegle możemy wykorzystać twierdzenie dotyczące równoległości i prostopadłości prostych o równaniach ogólnych, ale możemy też najpierw zapisać równania tych prostych w postaci kierunkowej a potem skorzystać z twierdzenia właśnie dla prostych w postaci kierunkowej. Przy okazji będziemy mogli też tę zamianę wykorzystać potem gdy będziemy zajmowali się drugim zdaniem z tabeli.