Dwa wielokąty są podobne, jeśli ich odpowiednie boki są proporcjonalne oraz odpowiednie kąty są równe.

Jeśli figury $F$ i $F^{\prime }$ są podobne, to zapisujemy $F\sim F^{\prime }$.

Definicja

Skala podobieństwa to stosunek długości odpowiadających sobie odcinków w figurach podobnych (oznaczenie $k$).

Skala podobieństwa figury $F$ do figury $F^{\prime }$:

$k=\frac{\left|AB\right|}{\left|A^{\prime }{B}^{\prime }\right|}=\frac{\left|BC\right|}{\left|B^{\prime }{C}^{\prime }\right|}=\frac{\left|CD\right|}{\left|C^{\prime }{D}^{\prime }\right|}=\frac{\left|AD\right|}{\left|A^{\prime }{D}^{\prime }\right|}$

Uwaga: Jeżeli dwa wielokąty są podobne w skali $k$, to proporcjonalne są też inne odpowiadające sobie odcinki, np. wysokości.

---

Przykład 1. Sprawdź, czy prostokąt o bokach długości $a=\sqrt{2}$, $b=\sqrt{3}$ jest podobny do prostokąta o bokach długości $c=2$, $d=3$.

$a<b$ oraz $c<d$

$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

$\frac{d}{b}=\frac{3}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\ne \frac{c}{a}$

Podane prostokąty nie są podobne.

---

Twierdzenie

Niech $k$ to skala podobieństwa figur podobnych. Wtedy stosunek pól tych figur jest równy $k^2$.

Jeśli $F\sim F^{\prime }$ i skala podobieństwa tych figur to $k$, to stosunek pola figury $F$ do figury $F^{\prime }$ to $k^2$.

Przykład 2. Oblicz skalę podobieństwa rombu $R_1$ do rombu $R_2$, jeśli pole rombu $R_1$ jest $16$ razy mniejsze od pola rombu $R_2$.

Niech:

$P_1$- pole rombu $R_1$

$P_2$ - pole rombu $R_2$

$P_1=\frac{1}{16}{P}_2$

$\frac{P_1}{P_2}=\frac{1}{16}=k^2$

$k>0$

$k=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$

---

Zadanie 1. Podane na poniższych rysunkach trapezy $ABCD$ oraz $EFGH$są podobne. 

Dokończ zdanie. Wskaż poprawną odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka $EF$ wynosi

A. $30$                                        B. $27\sqrt{3}$                                      C. $40$                                      D. $27$

Rozwiązanie

$k=\frac{\left|DC\right|}{\left|HG\right|}=\frac{14\sqrt{3}}{21}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\left|AB\right|}{\left|EF\right|}=k=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\frac{20\sqrt{3}}{\left|EF\right|}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\left|EF\right|\cdot 2\sqrt{3}=20\sqrt{3}\cdot 3$

$\left|EF\right|=\frac{{\cancel{20}}^{10}{\cancel{\sqrt{3}}}^1\cdot 3}{{\cancel{2}}_1{\cancel{\sqrt{3}}}_1}=10\cdot 3=30$

---

Zadanie 2. Prostokąt $P_1$o przekątnej długości $12\text{cm}$ jest podobny do prostokąta $P_2$ o przekątnej długości $16\text{cm}$. 

Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź A, B lub C i poprawne uzasadnienie spośród 1, 2 albo 3.

Stosunek pola prostokąta $P_1$ do prostokąta $P_2$ wynosi

A.	$\frac{3}{4}$,	ponieważ	1.	jest to kwadrat stosunku przekątnych tych prostokątów.
B.	$\frac{9}{16}$,		2.	jest to pierwiastek kwadratowy stosunku przekątnych tych prostokątów
C.	$\frac{\sqrt{3}}{2}$,		3.	jest on równy stosunkowi przekątnych tych prostokątów.

Rozwiązanie

$k=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$

$k^2={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$

---

Zadanie 3. Czworokąty $ABCD$ i $EFGH$ są podobne. Obwód czworokąta $ABCD$ wynosi $24$, a jego pole jest równe $21$ . Pole czworokąta $EFGH$ wynosi $175$.

Dokończ zdanie. Wskaż poprawną odpowiedź spośród podanych.

Obwód czworokąta $ABCD$ jest równy

A. $\frac{24\sqrt{3}}{5}$                              B. $\frac{5\sqrt{3}}{8}$                                C. $200$                                D. $40\sqrt{3}$

"Na początku tego zadania warto zauważyć, że stosunek obwodów dwóch wielokątów jest równy skali podobieństwa tych wielokątów."

Teoria: Stosunek obwodów dwóch wielokątów jest równy skali podobieństwa tych wielokątów.

Rozwiązanie 

Niech:

$P_1$- pole czworokąta $ABCD$

$P_2$ - pole czworokąta $EFGH$

"Obliczymy teraz stosunek podobieństwa pola czworokąta ABCD do pola czworokąta EFGH. Będzie to równe kwadratowi skali podobieństwa tych czworokątów, czyli kwadratowi stosunku długości odpowiadających sobie boków tych czworokątów. Dostajemy z tego 175 przez 21, czyli po skróceniu przez 7 jest to 25 trzecich. Obliczamy z tego skalę podobieństwa tych czworokątów. Jest to liczba dodatnie, więc k to pierwiastek z dwudziestu pięciu trzecich. Pierwiastek z dwudziestu pięciu to 5, a pierwiastek z trzech zostawiamy. Następnie usuwamy jeszcze tę niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez pierwiastek z trzech. Dostajemy ostatecznie 5 pierwiastków z trzech przez 3."

$k^2=\frac{P_2}{P_1}=\frac{175}{21}=\frac{25}{3}$

$k^{}=\sqrt{\frac{25}{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Niech:

$O_1$- obwód czworokąta $ABCD$

$O_2$ - obwód czworokąta $EFGH$

"Niech teraz O jeden to obwód czworokąta ABCD, a O dwa to obwód czworokąta EFGH. Możemy zapisać, że stosunek O dwa do O jeden jest równy skali podobieństwa, czyli wynosi 5 pierwiastków z trzech przez 3. W miejsce O jeden możemy wpisać 24, ponieważ znamy z treści zadania obwód czworokąta ABCD. Wyznaczymy teraz O dwa z tego równania. Mnożymy obie strony równania pomnożyć przez 24. Skracamy teraz 24 i 3 przez 3 i dostajemy 5 pierwiastków z trzech razy 8, czyli 40 pierwiastków z trzech. Obwód czworokąta EFGH to właśnie 40 pierwiastków z trzech. Czyli odpowiedź D."

$\frac{O_2}{O_1}=k=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

$\frac{O_2}{24}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\text{|}\cdot 24$

$O_2=\frac{5\sqrt{3}}{{\cancel{3}}_1}\cdot {\cancel{24}}^8=5\sqrt{3}\cdot 8=40\sqrt{3}$