Układ współrzędnych na płaszczyźnie stworzymy rysując dwie prostopadłe osie liczbowe Ox i Oy, które przetną się w punkcie O, nazywanym początkiem układu współrzędnych. Punkt ten ma współrzędne 0,0 i dzięki niemu każdemu punktowi, które będziemy chcieli zaznaczyć w tym układzie możemy przypisać uporządkowaną parę liczb opisującą jego położenie.

Na osi x po lewej stronie punktu O mamy liczby dodatnie, a po prawej-liczby ujemne, natomiast na osi Oy nad punktem O mamy liczby dodatnie, a pod-liczby ujemne.

Oś x nazywamy też osią odciętych. Możemy to łatwo zapamiętać w taki sposób, że wyobrażamy sobie odcinające tę oś nożyczki. Oś y nazywamy natomiast osią rzędnych. To możesz sobie zobrazować tak, że rząd guzików w koszuli jest właśnie pionowy.

Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na 4 części, nazywane ćwiartkami. Oznaczamy je w następujący sposób.

Zwróćmy teraz uwagę na punkt w układzie współrzędnych. Jego położenie w określa uporządkowana para liczb, gdzie pierwsza liczba to współrzędna x-owa, nazywana też odciętą, ponieważ pochodzi z osi odciętych, a druga to współrzędna y-owa nazywana też rzędną, bo pochodzi z osi rzędnych.

rys: "układ-podpisy"

Wspomnimy jeszcze o symetrycznym odbiciu punktu względem osi układu współrzędnych oraz względem początku układu współrzędnych.

Przykład 1. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt . Wskaż współrzędne podanych niżej punktów, które są obrazami punktu w odpowiedniej symetrii.

a) → punkt ten jest symetrycznym odbicie punktu względem osi .

b) → punkt ten jest symetrycznym odbicie punktu względem osi .

c) → punkt ten jest symetrycznym odbicie punktu względem początku układu współrzędnych.

rys: "układ"

tekst:

Spójrzmy na następujące ćwiczenie. Naszym zadaniem jest wskazać współrzędne punktów, które są obrazem punktu P pewnej symetrii osiowej lub środkowej. Pomocniczo zaznaczymy te punkty w układzie współrzędnych, a następnie zapiszemy ich współrzędne.

Chcemy początkowo odbić punkt P o współrzędnych 4 i 3 względem osi Ox układu współrzędnych. Wtedy oś x traktujemy jak lusterko, w którym przegląda się punkt P. Odbijamy punkt P w taki sposób, żeby odległość punktu Q od osi x była taka sama jak odległość punktu P od tej osi i dodatkowo aby odcinek łączący punkty P i Q był prostopadły do osi x. Dostaliśmy punkt o współrzędnych 4 i -3. Zauważmy, że w takiej sytuacji x-owa współrzędna tego punktu pozostała bez zmian, a y-owa współrzędna zmieniła się na liczbę przeciwną.

Przechodzimy do zaznaczenia punktu R. Tym razem odbijamy punkt P symetrycznie względem osi y. Zauważmy, że wtedy punkt R będzie miał współrzędne -4 i 3, czyli x-owa współrzędna zmieniła się na liczbę przeciwną, a y-owa została bez zmian.

Na końcu, jeśli chcemy odbić punkt P symetrycznie względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu 0,0, to musimy to tak odbić, aby odcinek łączący punktu P i S przechodził przez początek układu współrzędnych i żeby wtedy początek układu współrzędnych był równoodległy od punktów P i S. Punkt S ma więc współrzędne -4 i -3. Zauważmy, że obydwie współrzędne zmieniły się na liczby przeciwne. Zwróć uwagę, że aby otrzymać punkt S można było wykonać odbicie symetryczne punktu P względem osi x, a potem względem osi y, albo odwrotnie - najpierw względem osi y, a potem względem osi x. Efekt uzyskamy taki sam.

Możemy więc podsumować, że jeśli w kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt o współrzędnych x i y, to odbijając ten punkt symetrycznie względem osi Ox otrzymujemy punkt o współrzędnych (x,-y). Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi y otrzymujemy punkt (-x,y), natomiast jeśli odbijemy punkt P symetrycznie względem początku układu współrzędnych to dostaniemy punkt o współrzędnych (-x,-y).

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt .

Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi otrzymujemy punkt o współrzędnych .
Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi otrzymujemy punkt o współrzędnych .
Odbijając ten punkt symetrycznie względem początku układu współrzędnych (czyli względem punktu ) otrzymujemy punkt o współrzędnych .

Wspomnimy jeszcze o wektorach. Nie będziemy się jednak wdrażać dokładnie w ten temat, ponieważ nie jest to obowiązkowe zagadnienie do matury podstawowej, natomiast może być dla kogoś pomocny w przypadku np. przesuwania wykresów funkcji.

Graficznie wektor przedstawimy w postaci odcinka ze strzałką na końcu.

Przykładowo wektor o początku w punkcie i końcu w punkcie oznaczymy w następujący sposób i tak zaznaczymy w układzie współrzędnych (rys"wektor1").

Wektory są wygodnym sposobem opisywania przesuwania obiektów w układzie współrzędnych.

Jeśli , a , (rys"wektor2")to przesunięcie o wektor oznacza przesunięcie o jednostek w prawo i jednostek w dół. Zapisujemy wtedy, że . (rys"wektor3")

Twierdzenie

Wektor w układzie współrzędnych zapisujemy jako parę liczb . W przesunięciu o taki wektor:

współrzędna określa, o ile jednostek zostało coś przesunięte w poziomie, czyli wzdłuż osi
współrzędna określa, o ile jednostek zostało coś przesunięte w pionie, czyli wzdłuż osi

Zadanie 1. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt . Punkt jest obrazem punktu w symetrii względem osi .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwa odpowiedź spośród podanych. (rys"zad.1")

A. Odcięta punktu jest równa .

B. Rzędna punktu to .

C. Odcięta punktu jest równa .

D. Rzędna punktu to .

Rozwiązanie

Odcięta tego punktu to , a rzędna to .

Zadanie 2. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt . Punkt jest symetryczny do punktu względem osi , a punkt jest symetryczny do punktu względem początku układu współrzędnych.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe.

Punkt ma współrzędne .	P	F
Punkt jest symetryczny do punktu względem osi .	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze Zdanie drugie

Zdanie jest fałszywe. Zdanie jest prawdziwe.