Układ współrzędnych na płaszczyźnie stworzymy rysując dwie prostopadłe osie liczbowe Ox i Oy, które przetną się w punkcie O, nazywanym początkiem układu współrzędnych. Punkt ten ma współrzędne 0,0 i dzięki niemu każdemu punktowi, które będziemy chcieli zaznaczyć w tym układzie możemy przypisać uporządkowaną parę liczb opisującą jego położenie.

Na osi x po lewej stronie punktu O mamy liczby dodatnie, a po prawej-liczby ujemne, natomiast na osi Oy nad punktem O mamy liczby dodatnie, a pod-liczby ujemne.

Oś x nazywamy też osią odciętych. Możemy to łatwo zapamiętać w taki sposób, że wyobrażamy sobie odcinające tę oś nożyczki. Oś y nazywamy natomiast osią rzędnych. To możesz sobie zobrazować tak, że rząd guzików w koszuli jest właśnie pionowy. 

Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na 4 części, nazywane ćwiartkami. Oznaczamy je w następujący sposób. 

Zwróćmy teraz uwagę na punkt w układzie współrzędnych. Jego położenie w określa uporządkowana para liczb, gdzie pierwsza liczba to współrzędna x-owa, nazywana też odciętą, ponieważ pochodzi z osi odciętych, a druga to współrzędna y-owa nazywana też rzędną, bo pochodzi z osi rzędnych.

rys: "układ-podpisy"

---

Wspomnimy jeszcze o symetrycznym odbiciu punktu względem osi układu współrzędnych oraz względem początku układu współrzędnych.

Przykład 1. Na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dany jest punkt $P=\left(4,3\right)$. Wskaż współrzędne podanych niżej punktów, które są obrazami punktu $P$ w odpowiedniej symetrii.

a) $Q$ → punkt ten jest symetrycznym odbicie punktu $P$ względem osi $Ox$.

b) $R$ → punkt ten jest symetrycznym odbicie punktu $P$ względem osi $Oy$.

c) $S$ → punkt ten jest symetrycznym odbicie punktu $P$ względem początku układu współrzędnych.

rys: "układ"

$Q=\left(4,-3\right)$

$R=\left(-4,3\right)$

$S=\left(-4,-3\right)$

tekst:

Spójrzmy na następujące ćwiczenie. Naszym zadaniem jest wskazać współrzędne punktów, które są obrazem punktu P pewnej symetrii osiowej lub środkowej. Pomocniczo zaznaczymy te punkty w układzie współrzędnych, a następnie zapiszemy ich współrzędne.

Chcemy początkowo odbić punkt P o współrzędnych 4 i 3 względem osi Ox układu współrzędnych. Wtedy oś x traktujemy jak lusterko, w którym przegląda się punkt P. Odbijamy punkt P w taki sposób, żeby odległość punktu Q od osi x była taka sama jak odległość punktu P od tej osi i dodatkowo aby odcinek łączący punkty P i Q był prostopadły do osi x. Dostaliśmy punkt o współrzędnych 4 i -3. Zauważmy, że w takiej sytuacji x-owa współrzędna tego punktu pozostała bez zmian, a y-owa współrzędna zmieniła się na liczbę przeciwną.  

Przechodzimy do zaznaczenia punktu R. Tym razem odbijamy punkt P symetrycznie względem osi y. Zauważmy, że wtedy punkt R będzie miał współrzędne -4 i 3, czyli x-owa współrzędna zmieniła się na liczbę przeciwną, a y-owa została bez zmian.

Na końcu, jeśli chcemy odbić punkt P symetrycznie względem początku układu współrzędnych, czyli względem punktu 0,0, to musimy to tak odbić, aby odcinek łączący punktu P i S przechodził przez początek układu współrzędnych i żeby wtedy początek układu współrzędnych był równoodległy od punktów P i S. Punkt S ma więc współrzędne -4 i -3. Zauważmy, że obydwie współrzędne zmieniły się na liczby przeciwne. Zwróć uwagę, że aby otrzymać punkt S można było wykonać odbicie symetryczne punktu P względem osi x, a potem względem osi y, albo odwrotnie - najpierw względem osi y, a potem względem osi x. Efekt uzyskamy taki sam.

---

Możemy więc podsumować, że jeśli w kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt o współrzędnych x i y, to odbijając ten punkt symetrycznie względem osi Ox otrzymujemy punkt o współrzędnych (x,-y). Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi y otrzymujemy punkt (-x,y), natomiast jeśli odbijemy punkt P symetrycznie względem początku układu współrzędnych to dostaniemy punkt o współrzędnych (-x,-y).

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest punkt $P=\left(x,y\right)$.

• Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi $Ox$ otrzymujemy punkt o współrzędnych $\left(x,-y\right)$.
• Odbijając ten punkt symetrycznie względem osi $Oy$ otrzymujemy punkt o współrzędnych $\left(-x,y\right)$.
• Odbijając ten punkt symetrycznie względem początku układu współrzędnych (czyli względem punktu $O=\left(0,0\right)$) otrzymujemy punkt o współrzędnych $\left(-x,-y\right)$.

---

Wspomnimy jeszcze o wektorach. Nie będziemy się jednak wdrażać dokładnie w ten temat, ponieważ nie jest to obowiązkowe zagadnienie do matury podstawowej, natomiast może być dla kogoś pomocny w przypadku np. przesuwania wykresów funkcji.

 

Graficznie wektor przedstawimy w postaci odcinka ze strzałką na końcu.

Przykładowo wektor o początku w punkcie $A$ i końcu w punkcie $B$ oznaczymy w następujący sposób $\overrightarrow{AB}$ i tak zaznaczymy w układzie współrzędnych (rys"wektor1").

Wektory są wygodnym sposobem opisywania przesuwania obiektów w układzie współrzędnych.

Jeśli $A=\left(-3,2\right)$, a $B=\left(2,-4\right)$, (rys"wektor2")to przesunięcie o wektor $\overrightarrow{AB}$ oznacza przesunięcie o $5$ jednostek w prawo i $6$ jednostek w dół. Zapisujemy wtedy, że $\overrightarrow{AB}=\left[5,-6\right]$. (rys"wektor3")

Twierdzenie

Wektor w układzie współrzędnych zapisujemy jako parę liczb $\left[a,b\right]$. W przesunięciu o taki wektor:

• współrzędna $a$ określa, o ile jednostek zostało coś przesunięte w poziomie, czyli wzdłuż osi $Ox$
• współrzędna $b$ określa, o ile jednostek zostało coś przesunięte w pionie, czyli wzdłuż osi $Oy$

---

Zadanie 1. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dany jest punkt $A=\left(-3,1\right)$. Punkt $A^{\prime }$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem osi $Oy$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwa odpowiedź spośród podanych. (rys"zad.1")

A. Odcięta punktu $A^{\prime }$ jest równa $-1$.

B. Rzędna punktu $A^{\prime }$ to $3$.

C. Odcięta punktu $A^{\prime }$ jest równa $3$.

D. Rzędna punktu $A^{\prime }$ to $-1$.

Rozwiązanie

$A^{\prime }=\left(3,1\right)$   

Odcięta tego punktu to $3$, a rzędna to $1$.

---

Zadanie 2. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dany jest punkt $P=\left(6,18\right)$. Punkt $R$ jest symetryczny do punktu $P$ względem osi $Ox$, a punkt $Q$ jest symetryczny do punktu $R$ względem początku układu współrzędnych.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F – jeśli jest fałszywe.

Punkt $R$ ma współrzędne $\left(-6,18\right)$.	P	F
Punkt $Q$ jest symetryczny do punktu $P$ względem osi $Oy$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze                                                  Zdanie drugie

$R=\left(6,-18\right)$                                                          $Q=\left(-6,18\right)$

Zdanie jest fałszywe.                                           Zdanie jest prawdziwe.