Wyznaczanie dowolnego wyrazu ciągu- Zadanie Wyznaczanie dowolnego wyrazu ciągu: Powtórka do matury z matematyki 2024

Rozwiązanie

🤔 Po przeczytaniu tej notatki dowiesz się, jak wyznaczać dowolny wyraz ciągu liczbowego na podstawie jego wzoru ogólnego.

Definicja ciągu

Ciąg to szczególny rodzaj funkcji - takiej, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich (wtedy mówimy o ciągu nieskończonym) lub skończony zbiór początkowych, kolejnych liczb naturalnych dodatnich, tj. ${1, 2, \dots, n}$ (wtedy mówimy o ciągu skończonym).

Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu.

Ciąg, którego wszystkie wyrazy są liczbami, nazywamy ciągiem liczbowym. Jednym z najbardziej użytecznych i wygodnych sposobów opisu takiego ciągu jest podanie jego wzoru ogólnego, czyli wzoru na jego $n$ -ty wyraz. Wzór ten pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu, bez znajomości innych jego wyrazów.

Wyznaczanie konkretnego wyrazu ciągu

Aby obliczyć konkretny wyraz ciągu (np. siódmy albo setny) na podstawie jego wzoru ogólnego, wystarczy w miejsce $n$ w tym wzorze podstawić odpowiednią liczbę (w naszym przykładzie byłoby to odpowiednio $7$ albo $100$ ).

Wzór ogólny ciągu $(a_{n})$	$a_{n} = (- 1)^{n + 2} \cdot (2 n + 1)$
Siódmy wyraz ciągu $(a_{n})$	$a_{7} = (- 1)^{7 + 2} \cdot (2 \cdot 7 + 1) = - 15$
Setny wyraz ciągu $(a_{n})$	$a_{100} = (- 1)^{100 + 2} \cdot (2 \cdot 100 + 1) = 201$

Wyznaczanie (n+1)-go wyrazu ciągu

Chcąc wyznaczyć wyraz o numerze $n + 1$ , postępujemy analogicznie, jak wyżej: w miejsce $n$ we wzorze ogólnym wstawiamy wyrażenie $n + 1$ . Aby uniknąć błędów rachunkowych, warto wstawiać $n + 1$ w nawiasie.

Wzór ogólny ciągu $(a_{n})$	$a_{n} = (- 1)^{n + 2} \cdot (2 n + 1)$
$n + 1$ wyraz ciągu $(a_{n})$	$a_{n + 1} = (- 1)^{(n + 1) + 2} \cdot (2 \cdot (n + 1) + 1) = (- 1)^{n + 3} \cdot (2 n + 3)$

Z koniecznością wyznaczenia wyrazu o numerze $n + 1$ możemy się spotkać np. przy badaniu monotoniczności ciągu lub rozstrzyganiu, czy dany ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny.

Przykład (Egzamin maturalny 2023):

Treść:

Ciąg (a_n) jest określony wzorem

$a_{n} = 2^{n} \cdot (n + 1)$