🤔 Po przeczytaniu tej notatki dowiesz się, jak intepretować geometrycznie nierówności z wartością bezwzględną na osi.

---

 

Definicja wartości bezwzględnej  Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej $a$ nazywamy liczbę $a$, jeśli $a$ jest liczbą nieujemną, lub liczbę przeciwną do $a$, jeśli $a$ jest liczbą ujemną. Stosujemy zapis $\left|a\right|$.

 

Geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej na osi

Zauważmy, że odległość między dwiema liczbami rzeczywistymi $a$ i $b$ jest równa $\left|a-b\right|$. W przypadku, gdy $a,b>0$ mamy

Uwaga: Zauważmy, że $\left|a-b\right|=\left|b-a\right|$, ponieważ liczby $a-b$ oraz $b-a$ są do siebie przeciwne.

 

Nierówności z wartością bezwzględną

Aby rozwiązać nierówność postaci $\left|x-a\right|<b$ (odpowiednio $\le$) lub $\left|x-a\right|>b$ (odpowiednio $\ge$ ), znajdujemy na osi wszystkie takie liczby $x$, których odległość od liczby $a$ jest

• mniejsza niż $b$, gdy mamy nierówność $<$ (mniejsza lub równa, gdy $\le$)
• większa niż $b$, gdy mamy nierówność $>$ (większa lub równa, gdy $\ge$)

Nierówność	Rozwiązanie	Interpretacja geometryczna na osi
$\left|x-a\right|<b$	$\underline{x\in (a-b,a+b)}$
$\left|x-a\right|\le b$	$\underline{x\in ⟨a-b,a+b⟩}$
$\left|x-a\right|>b$	$\underline{x\in (-\infty ,a-b)\cup (a+b,+\infty )}$
$\left|x-a\right|\ge b$	$\underline{x\in (-\infty ,a-b⟩\cup ⟨a+b,+\infty )}$

 

---

 

Przykład (Egzamin maturalny 2023):

Treść:

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 

A. |x+3,5|≥1,5

B. |x-1,5|≥3,5

C. |x-3,5|≤1,5

D. |x-1,5|≤3,5

 

Rozwiązanie:

Zauważmy, że odległość między punktami -2 i 5 jest równa 7. 

Wyznaczamy punkt równoodległy od punktów -2 i 5 

$\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}=1,5$  

Przyjrzyjmy się rysunkowi 

Do zaznaczonej sumy przedziałów należą liczby x, których odległość od liczby 1,5 jest większa lub równa 3,5, czyli te przedziały opisuje nierówność 

$\left|x-1,5\right|\ge 3,5$  

Odp. B. 

---

 

A teraz przećwicz swoją wiedzę, rozwiązując arkusze maturalne:

• Egzamin maturalny 2023
• Arkusz próbny, wrzesień 2022
• Informator o egzaminie maturalnym z matematyki