Dowody z dzieleniem z resztą- Zadanie Dowody z dzieleniem z resztą: Powtórka do matury z matematyki 2024

Rozwiązanie

🤔 Po przeczytaniu tej notatki dowiesz się, jak udowodnić, że liczba przy dzieleniu przez pewną liczbę całkowitą daje zadaną resztę.

Dzielenie z resztą

Dla liczb całkowitych $a$ i $b$ , $b \neq = 0$ istnieje tylko jedna para liczb całkowitych $q$ (nazywana ilorazem) i $r$ (nazywana resztą), dla której $a = b \cdot q + r$ , gdzie $0 \leq r < ∣ b ∣$ .

Postać liczby dającej pewną resztę z dzielenia

Ogólna postać liczby $x$ , która w wyniku podzielenia przez $n$ daje resztę $r$ to

$\underline{x = n \cdot k + r}$

gdzie $k$ jest pewną liczbą całkowitą.

Przykładowo, rozważmy liczbę $48$ i dzielenie przez $7$ . Skoro

$48 = 7 \cdot 6 + \underline{\underline{6}}$

to oznacza, że liczba $48$ przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $6$ .

Przeprowadzenie dowodu

Aby udowodnić, że pewne wyrażenie przy dzieleniu przez liczbę $n$ daje resztę $r$ , należy na przykład poprzez stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz grupowanie i wyłączanie czynników przed nawias doprowadzić je do postaci

$\underline{n \cdot k + r}$

gdzie $k$ jest pewną liczbą całkowitą.

Przykład

Wykażemy, że wyrażenie $(3 n + 1) (3 n + 2)$ , gdzie $n \in N$ , przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ . Zauważmy, że to wyrażanie da się zapisać w postaci