🤔 Po przeczytaniu tej notatki dowiesz się, jak rozwiązać równania wielomianowe metodą grupowania wyrazów.

---

 

Rozwiązanie równania Rozwiązaniem równania wielomianowego $W\left(x\right)=0$ są wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu $W\left(x\right)$. Jeśli wielomian $W\left(x\right)$ nie ma pierwiastków, to równanie nie ma rozwiązań.

 

Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu przynajmniej dwóch wielomianów możliwie najniższego stopnia. Rozkład pozwala nam sprowadzić rozwiązanie równania wielomianowego do rozwiązania kilku równań wielomianowych niższego stopnia. Zatem mając dane

$W\left(x\right)=0\text{i}W\left(x\right)=w_1\left(x\right)\cdot w_2\left(x\right)\cdot \dots \cdot w_n\left(x\right)$

równoważnie rozwiązujemy

$w_1\left(x\right)=0\text{lub}{w}_2\left(x\right)=0\text{lub}\dots \text{lub}{w}_n(x)=0$

 

Metoda grupowania wyrazów

Aby rozwiązać równanie wielomianowe metodą grupowania, należy wykonać kilka opisanych poniżej kroków. 

$$\begin{gathered} \begin{array}{ll}3x^3+6x^2-9x-18=0& |\begin{array}{l}\text{KROK 1: Grupujemy wyrazy wielomianu w pary tak, by z kaz˙dej}\\ \text{pary dało się wyłączycˊ wspoˊlny czynnik, a wyraz˙enie, ktoˊre zostanie}\\ \text{po jego wyłączeniu, było jednakowe dla obu par. }\end{array}\\ & \\ 3x^2\underline{(x+2)}-9\underline{(x+2)}=0& |\begin{array}{c}\text{KROK 2: Wyłączamy czynniki z kaz˙dej grupy.}\end{array}\\ & \\ \underline{(x+2)}(3x^2-9)=0& |\begin{array}{l}\text{KROK 3: Wyłączamy nawias będący wspoˊlnym czynnikiem obu grup}\\ \text{przed nawias.}\end{array}\\ & \\ x+2=0\text{lub}3x^2-9=0& |\begin{array}{l}\text{KROK 4: Przyroˊwnujemy do zera kaz˙dy z czynnikoˊw otrzymanego}\\ \text{iloczynu.}\end{array}\end{array} \\ \begin{array}{ll}\begin{array}{ll}x=-2\text{lub}& 3x^2=9\\ & x^2=3\\ & x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}\end{array}& |\begin{array}{l}\text{KROK 5: Rozwiązujemy tak otrzymane roˊwnania.}\\ \\ \end{array}\end{array} \end{gathered}$$

Rozwiązaniem równania są liczby

$x=-2\text{lub}x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}$

---

 

Przykład (Egzamin maturalny 2023):

Treść:

Rozwiąż równanie

$3x^3-2x^2-12x+8=0$  

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki. Korzystamy z metody grupowania wyrazów.

$x^2\left(3x-2\right)-4\left(3x-2\right)=0$  

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$\left(3x-2\right)\left(x^2-4\right)=0$  

Stąd

$3x-2=0\vee x^2-4=0$  

$3x=2x^2=4$  

$x=\underline{\underline{\frac{2}{3}}}x=\underline{\underline{2}}\vee x=\underline{\underline{-2}}$  

Zatem równanie ma trzy rozwiązania.

Odp.:

$\underline{\underline{x\in \left\{-2,\frac{2}{3},2\right\}}}$

---

 

A teraz przećwicz swoją wiedzę, rozwiązując arkusze maturalne:

• Egzamin maturalny 2023
• Arkusz próbny, wrzesień 2023