Warunek równoległości i prostopadłości prostych- Zadanie Warunek równoległości i prostopadłości prostych: Powtórka do matury z matematyki 2024

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

🤔 Po przeczytaniu tej notatki dowiesz się, jak wyznaczyć równanie prostej równoległej/prostopadłej do danej prostej, przechodzącej przez zadany punkt.

Mierząc się z problemem wyznaczenia równania prostej równoległej albo prostopadłej do danej prostej, przechodzącej przez zadany punkt, warto skorzystać z warunku równoległości i prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych.

Warunek równoległości prostych

Proste $k$ i $l$ o równaniach kierunkowych $k : y = a_{k} x + b_{k}$ oraz $l : y = a_{l} x + b_{l}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, tj. $a_{k} = a_{l}$ .

Warunek prostopadłości prostych

Proste $k$ i $l$ o równaniach kierunkowych $k : y = a_{k} x + b_{k}$ oraz $l : y = a_{l} x + b_{l}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $- 1$ , tj. $a_{k} \cdot a_{l} = - 1$ .

Aby wyznaczyć równanie prostej $k$ równoległej do prostej $l : y = a_{l} x + b_{l}$ , przechodzącej przez punkt $P = (x_{P}, y_{P})$ , wystarczy wykonać kilka prostych kroków.

$k : y = \underline{\underline{a_{k}}} x + \underline{\underline{b_{k}}} KROK 1: Zapisujemy poszukiwan ą posta \overset{c}{ˊ} r \overset{o}{ˊ} wnania prostej k . k ∥ l \underline{\underline{a_{k}}} = a_{l} (k : y = a_{l} x + \underline{\underline{b_{k}}}) KROK 2: Wyznaczamy a_{k}, korzystaj ą c z warunku r \overset{o}{ˊ} wnoleg ł o \overset{s}{ˊ} ci prostych. P = (x_{P}, y_{P}) \in k k : y = a_{l} x + \underline{\underline{b_{k}}} y_{P} = a_{l} x_{P} + \underline{\underline{b_{k}}} \underline{\underline{b_{k}}} = y_{P} - a_{l} x_{P} KROK 3: Wstawiamy wsp \overset{o}{ˊ} ł rz ę dne punktu P do r \overset{o}{ˊ} wnania prostej k i obliczamy b_{k} .$

Pozostało już tylko zapisać równanie prostej $k$ :

$k : y = \underline{\underline{a_{l}}} x + \underline{\underline{y_{P} - a_{l} x_{P}}}$

Aby wyznaczyć równanie prostej $k$ prostopadłej do prostej $l : y = a_{l} x + b_{l}$ , przechodzącej przez punkt $P = (x_{P}, y_{P})$ , możemy postąpić analogicznie jak wcześniej.

$k : y = \underline{\underline{a_{k}}} x + \underline{\underline{b_{k}}} KROK 1: Zapisujemy poszukiwan ą posta \overset{c}{ˊ} r \overset{o}{ˊ} wnania prostej k . k ⊥ l \underline{\underline{a_{k}}} \cdot a_{l} = - 1 \underline{\underline{a_{k}}} = - \frac{1}{a _{l}} KROK 2: Wyznaczamy a_{k}, korzystaj ą c z warunku prostopad ł o \overset{s}{ˊ} ci prostych. P = (x_{P}, y_{P}) \in k k : y = - \frac{1}{a _{l}} x + \underline{\underline{b_{k}}} y_{P} = - \frac{1}{a _{l}} x_{P} + \underline{\underline{b_{k}}} \underline{\underline{b_{k}}} = y_{P} + \frac{1}{a _{l}} x_{P} KROK 3: Wstawiamy wsp \overset{o}{ˊ} ł rz ę dne punktu P do r \overset{o}{ˊ} wnania prostej k i obliczamy b_{k} .$

Pozostało już tylko zapisać równanie prostej $k$ :

$k : y = \underline{\underline{a_{l}}} x + \underline{\underline{y_{P} + \frac{1}{a _{l}} x_{P}}}$

Przykład (Arkusz próbny, wrzesień 2022):

Treść

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dana jest prosta k o równaniu y = 3x + b, przechodząca przez punkt A = (-1, 3).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik b w równaniu tej prostej jest równy
A. 0

B. 6

C. (−10)

D. 8

Rozwiązanie

$k : y = 3 x + b$

$A = (- 1, 3)$

Prosta k przechodzi przez punkt A - czyli dla argumentu x=-1 funkcja y=3x+b przyjmuje wartość y=3.

Podstawiamy współrzędne punktu do równania prostej:

$3 = 3 \cdot (- 1) + b$

$3 = - 3 + b$

$b = 6$

Odp.: B

A teraz przećwicz swoją wiedzę, rozwiązując arkusze maturalne:

Agnieszka Wątroba

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Wyznaczanie równania prostej

Premium

13:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Punkt przecięcia prostych i wzajemne położenie dwóch prostych

Premium

15:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równanie kierunkowe i ogólne prostej

Premium

13:02

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

🤔 Po przeczytaniu tej notatki dowiesz się, jak wyznaczyć równanie prostej równoległej/prostopadłej do danej prostej, przechodzącej przez zadany punkt.

Warunek równoległości prostych

Warunek prostopadłości prostych

Aby wyznaczyć równanie prostej $k$ równoległej do prostej $l : y = a_{l} x + b_{l}$ , przechodzącej przez punkt $P = (x_{P}, y_{P})$ , wystarczy wykonać kilka prostych kroków.

Pozostało już tylko zapisać równanie prostej $k$ :

$k : y = \underline{\underline{a_{l}}} x + \underline{\underline{y_{P} - a_{l} x_{P}}}$

Aby wyznaczyć równanie prostej $k$ prostopadłej do prostej $l : y = a_{l} x + b_{l}$ , przechodzącej przez punkt $P = (x_{P}, y_{P})$ , możemy postąpić analogicznie jak wcześniej.

Pozostało już tylko zapisać równanie prostej $k$ :

$k : y = \underline{\underline{a_{l}}} x + \underline{\underline{y_{P} + \frac{1}{a _{l}} x_{P}}}$

Przykład (Arkusz próbny, wrzesień 2022):

Treść

B. 6

C. (−10)

D. 8

Rozwiązanie

$k : y = 3 x + b$

$A = (- 1, 3)$

Prosta k przechodzi przez punkt A - czyli dla argumentu x=-1 funkcja y=3x+b przyjmuje wartość y=3.

Podstawiamy współrzędne punktu do równania prostej:

$3 = 3 \cdot (- 1) + b$

$3 = - 3 + b$

$b = 6$

Odp.: B

A teraz przećwicz swoją wiedzę, rozwiązując arkusze maturalne:

Agnieszka Wątroba

Nauczycielka matematyki