🤔 Po przeczytaniu tej notatki dowiesz się, jak wyznaczyć równanie prostej równoległej/prostopadłej do danej prostej, przechodzącej przez zadany punkt.

---

 

Mierząc się z problemem wyznaczenia równania prostej równoległej albo prostopadłej do danej prostej, przechodzącej przez zadany punkt, warto skorzystać z warunku równoległości i prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych.

 

Warunek równoległości prostych Proste $k$ i $l$ o równaniach kierunkowych $k:y=a_{k}x+b_k$ oraz $l:y=a_{l}x+b_l$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe, tj. $a_k=a_l$. Warunek prostopadłości prostych Proste $k$ i $l$ o równaniach kierunkowych $k:y=a_{k}x+b_k$ oraz $l:y=a_{l}x+b_l$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$, tj. $a_k\cdot a_l=-1$.

---

Aby wyznaczyć równanie prostej $k$ równoległej do prostej $l:y=a_{l}x+b_l$, przechodzącej przez punkt $P=\left(x_P,y_P\right)$, wystarczy wykonać kilka prostych kroków.

$$\stackrel{\begin{array}{c}\text{KROK 1:}\\ \text{Zapisujemy poszukiwaną}\\ \text{postacˊ roˊwnania prostej}k.\\ \end{array}}{\boxed{\begin{array}{c}\\ k:y=\underline{\underline{a_k}}x+\underline{\underline{b_k}}\\ \end{array}}}\stackrel{k\parallel l}{\to }\stackrel{\begin{array}{c}\text{KROK 2:}\\ \text{Wyznaczamy}{a}_k,\\ \text{korzystając z warunku}\\ \text{roˊwnoległosˊci prostych.}\\ \end{array}}{\boxed{\begin{array}{c}\\ \underline{\underline{a_k}}=a_l\\ \end{array}}}\underset{k:y=a_{l}x+\underline{\underline{b_k}}}{\overset{P=(x_P,y_P)\in k}{\to }}\stackrel{\begin{array}{c}\text{KROK 3:}\\ \text{Wstawiamy wspoˊłrzędne}\\ \text{punktu}P\text{do roˊwnania}\\ \text{prostej}k\text{i obliczamy}{b}_k.\\ \end{array}}{\boxed{\begin{array}{c}{y}_P=a_l{x}_P+\underline{\underline{b_k}}\\ \\ \underline{\underline{b_k}}=y_P-a_l{x}_P\end{array}}}$$

Pozostało już tylko zapisać równanie prostej $k$:

$k:y=\underline{\underline{a_l}}x+\underline{\underline{y_P-a_l{x}_P}}$

---

Aby wyznaczyć równanie prostej $k$ prostopadłej do prostej $l:y=a_{l}x+b_l$, przechodzącej przez punkt $P=\left(x_P,y_P\right)$, możemy postąpić analogicznie jak wcześniej.

$$\stackrel{\begin{array}{c}\text{KROK 1:}\\ \text{Zapisujemy poszukiwaną}\\ \text{postacˊ roˊwnania prostej}k.\\ \end{array}}{\boxed{\begin{array}{c}\\ k:y=\underline{\underline{a_k}}x+\underline{\underline{b_k}}\\ \end{array}}}\stackrel{k\perp l}{\to }\stackrel{\begin{array}{c}\text{KROK 2:}\\ \text{Wyznaczamy}{a}_k,\\ \text{korzystając z warunku}\\ \text{prostopadłosˊci prostych.}\\ \end{array}}{\boxed{\begin{array}{c}\underline{\underline{a_k}}\cdot a_l=-1\\ \\ \underline{\underline{a_k}}=-\frac{1}{a_l}\end{array}}}\underset{k:y=-\frac{1}{a_l}x+\underline{\underline{b_k}}}{\overset{P=(x_P,y_P)\in k}{\to }}\stackrel{\begin{array}{c}\text{KROK 3:}\\ \text{Wstawiamy wspoˊłrzędne}\\ \text{punktu}P\text{do roˊwnania}\\ \text{prostej}k\text{i obliczamy}{b}_k.\\ \end{array}}{\boxed{\begin{array}{c}{y}_P=-\frac{1}{a_l}{x}_P+\underline{\underline{b_k}}\\ \\ \underline{\underline{b_k}}=y_P+\frac{1}{a_l}{x}_P\end{array}}}$$

Pozostało już tylko zapisać równanie prostej $k$:

$k:y=\underline{\underline{a_l}}x+\underline{\underline{y_P+\frac{1}{a_l}{x}_P}}$

---

 

Przykład (Arkusz próbny, wrzesień 2022):

Treść

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dana jest prosta k o równaniu y = 3x + b, przechodząca przez punkt A = (-1, 3).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Współczynnik b w równaniu tej prostej jest równy
A. 0

B. 6

C. (−10)

D. 8

 

Rozwiązanie

$k:y=3x+b$   

$A=\left(-1,3\right)$  

Prosta k przechodzi przez punkt A - czyli dla argumentu x=-1 funkcja y=3x+b przyjmuje wartość y=3.

Podstawiamy współrzędne punktu do równania prostej:

$3=3\cdot \left(-1\right)+b$  

$3=-3+b$  

$b=6$  

 

Odp.: B  

---

 

A teraz przećwicz swoją wiedzę, rozwiązując arkusze maturalne:

• Arkusz próbny, wrzesień 2022
• Egzamin maturalny 2023