II liceum

II technikum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Poziom rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 2.  Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 2. . Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 2. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Oznaczmy: x - długość cienia Wojtka y - wysokość drzewa Cień drzewa jest 6 razy dłuższy, czyli: 6x - długość cienia drzewa &nbsp; Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126493/VCNN0edlEyuvmcm0kW6Vdg%3D%3D_477cb6853bffe0b603fc37ffda4aea249d81e97a6e65a92eb98a9243be92480c.png" alt="" width="615" height="326"> Obliczmy stosunek długości cienia drzewa do cienia Wojtka: x6x​=6

Boki trójkąta ABC mają następujące długości: 8 cm, 10 cm, 11 cm

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126494/2JbwwR7Q0JYpP%2BHDzhBlNw%3D%3D_14d26577ea95bcd638175092a016559ffead8c255bde398b6b41ab72860c5374.jpg" width="322" height="315"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Stosunek długości podstaw |AB|:|CD|=7:5. Przyjmijmy więc, że długość odcinka AB ma długość 7x, natomiast długość odcinka CB ma długość 5x. Trójkąty ABM oraz DCM są trójkątami podobnymi, gdyż miary kątów w obu trójkątach są takie same (kąty BAM oraz CDM są kątami odpowiadającymi, także kąty ABM oraz DCM są kątami odpowiadającymi). Trójkąty te są podobne, więc długości odpowiadających sobie boków są proporcjonalne, czyli:

Rozpatrzmy trzy przypadki: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126496/Y6DyeldetsRsbGOWZ7oalA%3D%3D_1f1ef79e97e29e88053c78c0655e7bb5462ef9c4fd3afdf9742fd15144f32969.jpg" width="526" height="311"> &nbsp; W trójkącie ABC przyprostokątne mają długości |AC|=8 oraz |BC|=6. Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość prtzeciwprostokątnej AB. ∣AB∣2=82+62 &nbsp; ∣AB∣2=64+36 &nbsp; ∣AB∣2=100 &nbsp; ∣AB∣=10 &nbsp; &nbsp; Wiemy, że jeden z boków trójkąta KLM ma długość równa 6 - możemy więc zapisać: ∣KM∣=∣BC∣=6 &nbsp; &nbsp; Trójkąty ABC oraz KLM są podobne, czyli odpowiadające sobie długości boków są proporcjonalne. Rozpatrzmy pierwszy przypadek: Bok KM jest krótszą przyprostokątną. Obliczmy stosunek krótszych przyprostokątnych w obu trójkątach: ∣KM∣∣BC∣​=66​=1 &nbsp; Odpowiadające sobie długości pozostałych boków także mają stosunek równy 1. ∣KL∣∣CA∣​=∣KL∣8​ &nbsp; ∣KL∣8​=1

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126499/IYaZFC/%2BogKTFiYQLd2SmA%3D%3D_700b3613125f6b440b4c4eece940f917e17d4a96a9ce623408f34e2d16a03c0a.jpg" width="282" height="206"> Oznaczmy miary kątów w trójkącie ABC: ∣∠BAD∣=α &nbsp; ∣∠BCA∣=β &nbsp; Z treści zadania wiemy, że wysokość BD ma 36 cm. ∣BD∣=36 cm &nbsp; Wysokość BD poprowadzona jest na podstawę AC pod kątem prostym. Dzieli także podstawę AC w stosunku 4:9. Możemy zatem zapisać: ∣AD∣=4x &nbsp; ∣DC∣=9x &nbsp; &nbsp; W trójkącie BDA miary kątów wynoszą 90o oraz&nbsp;α, więc miara kąta ABD wynosi&nbsp; ∣∠ABD∣=β &nbsp; W trójkącie BCD miary kątów wynoszą 90o&nbsp;oraz&nbsp;ß, więc miara kąta DBC wynosi&nbsp; ∣∠DBC∣=α

Jeśli w trójkącie prostokątnym narysujemy wysokość opuszczoną z wierzchołka kąta prostego, to podzieli ona początkowy trójkąt na dwa trójkąty podobne. Jeżeli trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEF, a trójkąt DEF jest podobny do trójkąta&nbsp; KLM, to trójkąty ABC i KLM również są podobne. &nbsp; Przykładowy podział prostokąta:

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126501/aFaDzCi6CCOKBglxzBQC/Q%3D%3D_5f2dc162d667430e031b7e1b54682b366b7311cbb008dfe6b15613e0f17ad899.jpg" width="686" height="325"> Z treści zadania wiemy, że czworokąt AMNP jest rombem, czyli długości jego boków są równe: ∣AM∣=∣MN∣=∣NP∣=∣PA∣ &nbsp; &nbsp; &nbsp; W trójkącie BNM oznaczmy miary kątów jako&nbsp;α,&nbsp;ß oraz&nbsp;γ. ∣∠BMN∣=α

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126502/HrrajjBWVxoblMy5fuxGIg%3D%3D_d4db780e686841f53bfaef39d33efcc20d305cac14b2059ab24bd2a3728714e5.jpg" width="330" height="320"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Oznaczmy długość boku kwadratu jako a: ∣ED∣=a &nbsp; Trójkąt GBA jest trójkątem równobocznym.&nbsp; Trójkątem równobocznym jest także trójkąt FEA. Wysokość Ak tego trójkąta dzieli podstawę FE na dwa odcinki o równej długości. Odcinek FE jest bokiem kwadratu dlatego długość FE wynosi a. Stąd: ∣FK∣=∣KE∣=21​a &nbsp; &nbsp; Trójkąty CBA oraz DBE są trójkątami podobnymi z cechy kąt kąt kąt (trójkąty te mają dwa takie same kąty 90o i 60o, więc trzeci kąt w trójkącie DBE musi być równy 30o, czyli ma taką samą miarę jak pozostały kąt w trójkącie CBA).&nbsp; Trójkąty są podobne, więc długości odpowiadających sobie boków są proporcjonalne. Zapiszmy: ∣ED∣∣AC∣​=∣DB∣∣CB∣​ &nbsp; &nbsp; Odcinek AC jest wysokością trójkąta GBA o boku długości 12 cm. Obliczmy długość tego odcinka: ∣AC∣=2123<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​=63<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ [cm]

Trójkąt T1 jest podobny do trójkąta T2 w skali k. Stąd trójkąt T2 jest podobny do trójkąta T1 w skali 1/k. Z treści zadania wiemy także, że trójkąt T2 jest podobny do trójkąta T1 w sakli 4k. Zapiszmy równanie: k1​=4k         ∣⋅k &nbsp; 1=4k2        ∣:4 &nbsp; 41​=k2 &nbsp; k=21​     lub      k=−21​ &nbsp;&nbsp; Jednak z definicji podobieństwa, skala k może być tylko liczbą dodatnią, więc: k=21​ &nbsp; &nbsp; Odp: Skala k jest równa 1/2.

&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126503/q7NjCgtJFYHLqbRXrmUjZg%3D%3D_3a3513abd8de3f0dbb148a262d654682fcd98086e013892347649a266dcd7239.jpg"> Punkty G i F są punktami styczności okręgu wpisanego z ramionami trójkąta, a więc: ∣CG∣=∣CF∣ &nbsp; Punkty D i F są punktami styczności, a zatem: ∣BD∣=∣BF∣ &nbsp;&nbsp;&nbsp;

Oznaczmy: x - długość cienia Wojtka y - wysokość drzewa Cień drzewa jest 6 razy dłuższy, czyli: 6x - długość cienia drzewa &nbsp; Szkic pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126493/VCNN0edlEyuvmcm0kW6Vdg%3D%3D_477cb6853bffe0b603fc37ffda4aea249d81e97a6e65a92eb98a9243be92480c.png" alt="" width="615" height="326"> Obliczmy stosunek długości cienia drzewa do cienia Wojtka: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fce18f432eb594bc55bde89abe2ba7f3da991a6d0362a65207496a08cca76162_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fce18f432eb594bc55bde89abe2ba7f3da991a6d0362a65207496a08cca76162_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Boki trójkąta ABC mają następujące długości: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/20cecc40d4ce281157d1804f97faa121fe6d0051acdb88585fea5e99a2454470_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/20cecc40d4ce281157d1804f97faa121fe6d0051acdb88585fea5e99a2454470_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Rozpatrzmy trzy przypadki: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126496/Y6DyeldetsRsbGOWZ7oalA%3D%3D_1f1ef79e97e29e88053c78c0655e7bb5462ef9c4fd3afdf9742fd15144f32969.jpg" width="526" height="311"> &nbsp; W trójkącie ABC przyprostokątne mają długości |AC|=8 oraz |BC|=6. Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość prtzeciwprostokątnej AB. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0539a95e12df75c6219a7f01b49efbfb6c534f0ee8973a5f7d5bcd4e1c08567c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0539a95e12df75c6219a7f01b49efbfb6c534f0ee8973a5f7d5bcd4e1c08567c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/67f48eb32dfcd04dc95e4d7650618545f811f2c4739722091099b86727c03e92_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/67f48eb32dfcd04dc95e4d7650618545f811f2c4739722091099b86727c03e92_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/56034be77af3f4e8d96bb8ebd719e91a4deafe05e866c7c4898c6a8eec66fa75_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/56034be77af3f4e8d96bb8ebd719e91a4deafe05e866c7c4898c6a8eec66fa75_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/49394ab6673cb048f2fc2d5e009f65650b68daa3d930436320764ccefc7f9159_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/49394ab6673cb048f2fc2d5e009f65650b68daa3d930436320764ccefc7f9159_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Wiemy, że jeden z boków trójkąta KLM ma długość równa 6 - możemy więc zapisać: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21f9cebb3846e3ed0ff5cac41359008f126278be22277829adb5b251a8dd45c4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/21f9cebb3846e3ed0ff5cac41359008f126278be22277829adb5b251a8dd45c4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Trójkąty ABC oraz KLM są podobne, czyli odpowiadające sobie długości boków są proporcjonalne. Rozpatrzmy pierwszy przypadek: Bok KM jest krótszą przyprostokątną. Obliczmy stosunek krótszych przyprostokątnych w obu trójkątach: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/325b196263886c00948f043efe2f65c892bb940c782fb6a5b7078f12496f1f44_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/325b196263886c00948f043efe2f65c892bb940c782fb6a5b7078f12496f1f44_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Odpowiadające sobie długości pozostałych boków także mają stosunek równy 1. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7c554ac61de7de33098330319dcac4fbcc856ac2136798f79e083e2b03f82713_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7c554ac61de7de33098330319dcac4fbcc856ac2136798f79e083e2b03f82713_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14c78d33de839e0d96d2b3b18bb2629a3ee174fdfc49b0cfb0221ce56b672b0d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/14c78d33de839e0d96d2b3b18bb2629a3ee174fdfc49b0cfb0221ce56b672b0d_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126497/gWINS/5a4rVWNCIgTOcyQA%3D%3D_3c6d58f83b6e696aaabff7d1c02a070062e608e5a20d6a6ae0242b84ea330d7c.jpg" width="291" height="254"> Trójkąty ABC oraz DEC są trójkątami podobnymi, ponieważ mają kąty o takich samych miarach. Trójkaty są podobne, więc odpowiadające sobie boki są proporcjonalne i stosunek między nimi jest stały. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd8dd830da64a1453a523150d76b8580b7c4572d6d79f228c6559903264ee512_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/dd8dd830da64a1453a523150d76b8580b7c4572d6d79f228c6559903264ee512_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da3ca5fea8c0a0b2cd77bce0e0db4d9c31dc7794b33838853135a74c1baba091_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da3ca5fea8c0a0b2cd77bce0e0db4d9c31dc7794b33838853135a74c1baba091_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8525541b44249545fa0038b05d9c72e01d57ddbba113042acdfffc5d26ca6d29_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8525541b44249545fa0038b05d9c72e01d57ddbba113042acdfffc5d26ca6d29_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ac999a1d962fa38e86a9de56af7a6199b357edc6872d096b7659561ee4cadc31_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ac999a1d962fa38e86a9de56af7a6199b357edc6872d096b7659561ee4cadc31_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b87088c7a53f01e1b10916ffd2e9db5574ee47586a0cec3081a2701fc9be1133_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b87088c7a53f01e1b10916ffd2e9db5574ee47586a0cec3081a2701fc9be1133_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/52e288401034068424c5cf0a1abec652425cad0ccbefd1fcdf621e127056b7dc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/52e288401034068424c5cf0a1abec652425cad0ccbefd1fcdf621e127056b7dc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4da5bcc2becb186aaa78496c0280329df095513eef41faea31ae5e9ac3e71499_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4da5bcc2becb186aaa78496c0280329df095513eef41faea31ae5e9ac3e71499_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6313a9bcbb1d6b34bd41e74b16242018f0de96bd15a714ceed89485d77de702f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6313a9bcbb1d6b34bd41e74b16242018f0de96bd15a714ceed89485d77de702f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zauważmy, że: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d69b8c6e68ba1192a23031d5bba795d30fbbd8bc905da250c2dbb97ef268314b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d69b8c6e68ba1192a23031d5bba795d30fbbd8bc905da250c2dbb97ef268314b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Mamy więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6daa7429ee29b5f381125105040ebbbbb5688660ba9ca265621d229334eb29e4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6daa7429ee29b5f381125105040ebbbbb5688660ba9ca265621d229334eb29e4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ce5fcc2a2044b2613f540cdead2111f5f81eb6058964db55b873348ef2584283_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ce5fcc2a2044b2613f540cdead2111f5f81eb6058964db55b873348ef2584283_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f9eaaeddc8144d36a54dde74a0e53500ba6e3eab0c629dc3c104ca691f52f512_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f9eaaeddc8144d36a54dde74a0e53500ba6e3eab0c629dc3c104ca691f52f512_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bd044de3558436accb48e3cd0a82a8de4547c2f11af60ba34c273d262049709f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/bd044de3558436accb48e3cd0a82a8de4547c2f11af60ba34c273d262049709f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126499/IYaZFC/%2BogKTFiYQLd2SmA%3D%3D_700b3613125f6b440b4c4eece940f917e17d4a96a9ce623408f34e2d16a03c0a.jpg" width="282" height="206"> Oznaczmy miary kątów w trójkącie ABC: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3122a97b84395ea561f18d7d3d12dd0a7c28c11dae0e0cceb0d838a225988148_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/3122a97b84395ea561f18d7d3d12dd0a7c28c11dae0e0cceb0d838a225988148_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2f733f12d9848e76ff67b6e9fcf3cb46a460fe2c853979edcbea17b33b82be0f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2f733f12d9848e76ff67b6e9fcf3cb46a460fe2c853979edcbea17b33b82be0f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Z treści zadania wiemy, że wysokość BD ma 36 cm. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cffceb8230cceeeea11301cf5679b00986ba280e0a834eee721f40e60562cfca_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/cffceb8230cceeeea11301cf5679b00986ba280e0a834eee721f40e60562cfca_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Wysokość BD poprowadzona jest na podstawę AC pod kątem prostym. Dzieli także podstawę AC w stosunku 4:9. Możemy zatem zapisać: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ded87dab38a4449e70b61515de1ddb108c41e9b1b513e4f3360e56af557ef7c0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ded87dab38a4449e70b61515de1ddb108c41e9b1b513e4f3360e56af557ef7c0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b905c04d6ca7fcc2ec1bc4e23a8afbe8e1657c2ea426375ad86a9fef3506f79d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b905c04d6ca7fcc2ec1bc4e23a8afbe8e1657c2ea426375ad86a9fef3506f79d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; W trójkącie BDA miary kątów wynoszą 90o oraz&nbsp;α, więc miara kąta ABD wynosi&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c7aafd29f7ef421d14f2f41488a1bac025886064d9fb1d9942f0ff4aa349288c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c7aafd29f7ef421d14f2f41488a1bac025886064d9fb1d9942f0ff4aa349288c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; W trójkącie BCD miary kątów wynoszą 90o&nbsp;oraz&nbsp;ß, więc miara kąta DBC wynosi&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/345010bb8a15639b101522f14357a24acdcf01076465bf754b9b22d7e8a6b308_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/345010bb8a15639b101522f14357a24acdcf01076465bf754b9b22d7e8a6b308_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126501/aFaDzCi6CCOKBglxzBQC/Q%3D%3D_5f2dc162d667430e031b7e1b54682b366b7311cbb008dfe6b15613e0f17ad899.jpg" width="686" height="325"> Z treści zadania wiemy, że czworokąt AMNP jest rombem, czyli długości jego boków są równe: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a936113d1ae8736dc8423ee94f3fbd240203123e8906c2359e167ad169d67dff_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a936113d1ae8736dc8423ee94f3fbd240203123e8906c2359e167ad169d67dff_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; &nbsp; W trójkącie BNM oznaczmy miary kątów jako&nbsp;α,&nbsp;ß oraz&nbsp;γ. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/74d10dfb7a676659feacc4044d958bfea2c0f26b81000768fe863fff78bfcacf_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/74d10dfb7a676659feacc4044d958bfea2c0f26b81000768fe863fff78bfcacf_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126502/HrrajjBWVxoblMy5fuxGIg%3D%3D_d4db780e686841f53bfaef39d33efcc20d305cac14b2059ab24bd2a3728714e5.jpg" width="330" height="320"> Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Oznaczmy długość boku kwadratu jako a: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8064f10d58a9e648729316873f3a2b13b352f13ec0d190b5f6decc7b7dd38f39_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8064f10d58a9e648729316873f3a2b13b352f13ec0d190b5f6decc7b7dd38f39_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Trójkąt GBA jest trójkątem równobocznym.&nbsp; Trójkątem równobocznym jest także trójkąt FEA. Wysokość Ak tego trójkąta dzieli podstawę FE na dwa odcinki o równej długości. Odcinek FE jest bokiem kwadratu dlatego długość FE wynosi a. Stąd: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da077478cc511ada395b371b3cd579f5b72467b9dc32666bbb5af6cc9fa05c03_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/da077478cc511ada395b371b3cd579f5b72467b9dc32666bbb5af6cc9fa05c03_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Trójkąty CBA oraz DBE są trójkątami podobnymi z cechy kąt kąt kąt (trójkąty te mają dwa takie same kąty 90o i 60o, więc trzeci kąt w trójkącie DBE musi być równy 30o, czyli ma taką samą miarę jak pozostały kąt w trójkącie CBA).&nbsp; Trójkąty są podobne, więc długości odpowiadających sobie boków są proporcjonalne. Zapiszmy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b82f00b71c63d1e1c2a4fae2c5b80140fb1f0b06cd4ca62bef3a9ff43f1e8f77_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b82f00b71c63d1e1c2a4fae2c5b80140fb1f0b06cd4ca62bef3a9ff43f1e8f77_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odcinek AC jest wysokością trójkąta GBA o boku długości 12 cm. Obliczmy długość tego odcinka: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0303404190a5e20deba60c4fc56d48e9c68247daf04a1169a07952b5200a139a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0303404190a5e20deba60c4fc56d48e9c68247daf04a1169a07952b5200a139a_big.svg" type="image/svg+xml"></object>

Trójkąt T1 jest podobny do trójkąta T2 w skali k. Stąd trójkąt T2 jest podobny do trójkąta T1 w skali 1/k. Z treści zadania wiemy także, że trójkąt T2 jest podobny do trójkąta T1 w sakli 4k. Zapiszmy równanie: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f1127154d9a2c8faab48b2956b68c5c63be6f3cf6deb439d7c5d4f236c3200af_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f1127154d9a2c8faab48b2956b68c5c63be6f3cf6deb439d7c5d4f236c3200af_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b9ff2eab456073ba309589b0cf472116369d1ff7bc9816e6ff25d55b136644b9_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b9ff2eab456073ba309589b0cf472116369d1ff7bc9816e6ff25d55b136644b9_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7c4b49c7d20af4c5e8d64a41d0c83bf1ab0fb68b5dbf4bf1fbd9771fe4fdc307_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7c4b49c7d20af4c5e8d64a41d0c83bf1ab0fb68b5dbf4bf1fbd9771fe4fdc307_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fea37469d9618d85ac4322c6b4d18e334b454667e20b22e7381499f3f7f6aaf6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fea37469d9618d85ac4322c6b4d18e334b454667e20b22e7381499f3f7f6aaf6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; Jednak z definicji podobieństwa, skala k może być tylko liczbą dodatnią, więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d6c6e0e411a2485071cc0a378e077f5d9b58ec91ca5f43a2eb02f355d9ee5b4c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d6c6e0e411a2485071cc0a378e077f5d9b58ec91ca5f43a2eb02f355d9ee5b4c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp: Skala k jest równa 1/2.

&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/126503/q7NjCgtJFYHLqbRXrmUjZg%3D%3D_3a3513abd8de3f0dbb148a262d654682fcd98086e013892347649a266dcd7239.jpg"> Punkty G i F są punktami styczności okręgu wpisanego z ramionami trójkąta, a więc: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/52592f63cc6584b0cff1f9ee3abac537e5cbcbc21c8d5e5e69064795d56d4654_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/52592f63cc6584b0cff1f9ee3abac537e5cbcbc21c8d5e5e69064795d56d4654_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Punkty D i F są punktami styczności, a zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ba7e58e2b9450090900dc003a2c85bf6612cb4527cd893e3030d4fd8e26ddfe_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6ba7e58e2b9450090900dc003a2c85bf6612cb4527cd893e3030d4fd8e26ddfe_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp;&nbsp;

Komentarze