a)

$f\left(x\right)=x^2-2x+1$  

$\overrightarrow{u}=\left[1;3\right]$    

 

Przedstawmy wzór funkcji f(x) w postaci kanonicznej - w tym celu musimy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem.

$y=a{\left(x-p\right)}^2+q$   - postać kanoniczna funkcji kwadratowej; p oznacza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, a q oznacza drugą współrzędną. 

 

$p=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$  

 

$\Delta =b^2-4ac={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0$  

 

$q=-\frac{\Delta }{4a}=0$      

 

$f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2$  

 

Przesuwamy wykres tej funkcji o wektor [1;3] - czyli wszystkie punkty (w tym wierzchołek) przesuwamy o 1 w prawo i 3 w górę, a więc:

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(x-1-1\right)}^2+3={\left(x-2\right)}^2+3$