1 szkoły ponadpodstawowej

I liceum

I technikum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy

a) &nbsp; Liczba 25 ma 3 dzielniki naturalne: 1,5,25 &nbsp; Liczba 125 ma 4 dzielniki naturalne: 1,5,25,125 &nbsp;&nbsp; Liczba 625 ma 5 dzielników naturalnych: 1,5,25,125,625 &nbsp; <hr> b) &nbsp; Liczba 9 ma 3 dzielniki naturalne: 1,3,9 &nbsp; Liczba 18 ma 6 dzielników naturalnych: 1,2,3,6,9,18 &nbsp; Liczba 36 ma 9 dzielników naturalnych: 1,2,3,4,6,9,12,18,36 &nbsp; <hr> c) &nbsp; Liczba 6 ma 4 dzielniki naturalne: 1,2,3,6 &nbsp; Liczba 12 ma 6 dzielników naturalnych: 1,2,3,4,6,12 &nbsp; Liczba 24 ma 8 dzielników naturalnych: 1,2,3,4,6,8,12,24 &nbsp;

Wypiszemy naturalne dzielniki liczby 390 i podkreślimy te, które są liczbami pierwszymi:&nbsp; 1,2​,3​,5​,6,10,13​,15,26,30,39,65,78,130,195,390 &nbsp; Suma pierwszych dzielników liczby 390 jest równa: 2+3+5+13=23 &nbsp;

a) &nbsp; Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze od 10: 0,1,2,3 &nbsp; &nbsp; <hr> b) &nbsp; Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze lub równe 30: 0,1,2,3,4,5 &nbsp;&nbsp; <hr> c) &nbsp; Naturalne liczby pierwsze mniejsze od 15: 2,3,5,7,11,13 &nbsp;&nbsp; <hr> d) &nbsp; Liczby jednocyfrowe złożone: 4,6,8,9 &nbsp;&nbsp;

Liczby pierwsze mniejsze od 55: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53 &nbsp; a) &nbsp;&nbsp; Liczba 55 przedstawiona w postaci sumy dwóch różnych liczb pierwszych: 55=2+53 &nbsp;

a) &nbsp; Podane liczby rozkładamy na czynniki pierwsze: 12=2​⋅2​⋅3​ &nbsp; 144=2​⋅2​⋅2⋅2⋅3​⋅3 &nbsp; Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 144 jest równy: NWD(12,144)=2​⋅2​⋅3​=12 &nbsp; Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12 i 144 jest równa: NWW(12,144)=2​⋅2​⋅3​⋅2⋅2⋅3=2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅3=144 &nbsp;&nbsp;

a) &nbsp; Obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 21 i 35. 21=3⋅7​ &nbsp; 35=5⋅7​ &nbsp; x=NWW(21,35)=3⋅7​⋅5=3⋅5⋅7=105 &nbsp;&nbsp;

Każda liczba naturalna jest wielokrotnością liczby 1. Zauważmy, że liczba 4 jest wielokrotnością liczby 2, a liczba 6 jest wielokrotnością liczby 3. Możemy więc zapisać. NWW(1,2,3,4,5,6)=NWW(4,5,6) &nbsp;&nbsp;

a) &nbsp; Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. x+6+3+0+9+7+x=2⋅x+25=2⋅x+1+24=2⋅x+1+3⋅8 &nbsp; Liczba&nbsp; x63097x &nbsp;będzie podzielna przez 3, gdy liczba&nbsp; 2⋅x+1 &nbsp;będzie podzielna przez 3. Zatem: x=1,x=4,x=7 &nbsp;&nbsp;

Jeśli największy wspólny dzielnik tych liczb ma być równy 18, to sumę tych liczb można zapisać jako 18a+18b , gdzie a &nbsp;i b &nbsp;są liczbami względnie pierwszymi (nie mają żadnych wspólnych dzielników, poza liczbą 1; gdyby miały inny wspólny dzielnik, to największy wspólny dzielnik nie byłby równy 18, ale więcej). Suma tych liczb ma być równa 144, więc możemy zapisać równanie:&nbsp; 18a+18b=144    ∣:18 &nbsp; a+b=8 &nbsp; Szukamy dwóch liczb naturalnych, których suma wynosi 8 i które nie mają wspólnych dzielników. Zauważmy, że nie ma znaczenia, którą liczbę weźmiemy jako a , a którą jako b : NWD(18a,18b)=NWD(18b,18a) &nbsp; Pary liczb&nbsp; a &nbsp;i&nbsp; b &nbsp;spełniające warunki zadania to: 1 i 7 oraz 3 i 4. Mamy więc dwie możliwości: 18⋅1=18,18⋅7=126⇒NWD(18,126)=18 &nbsp; 18⋅3=54,18⋅5=90⇒NWD(54,90)=18 &nbsp; Szukane pary liczb: 18i126lub54i90 &nbsp;

Komentarze