$\text{a)}$  

Zapiszemy liczbę 8 w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych:

$8=2\cdot 2\cdot 2=2^3$  

Dodajemy teraz do wykładnika, czyli liczby 3, liczbę 1. Mamy:

$3+1=4$  

Wynika stąd, że liczba 8 ma 4 dzielniki:

$2^0,2^1,2^2,2^3$  

Czyli:

$1,2,4,8$  

Rozważymy rozkłady liczby 8 na czynniki, które są liczbami naturalnymi większymi od 1. Mamy trzy możliwości:

1.   $8=8$  

2.   $8=4\cdot 2$  

3.   $8=2\cdot 2\cdot 2$  

Mamy więc:

1.  $8=7+1,\text{co daje}{2}^7=128$  

2.  $4\cdot 2=\left(3+1\right)\cdot \left(1+1\right),\text{co daje}{2}^3\cdot 3^1=8\cdot 3=24$  

3.  $2\cdot 2\cdot 2=\left(1+1\right)\cdot \left(1+1\right)\cdot \left(1+1\right),\text{co daje}{2}^1\cdot 3^1\cdot 5^1=30$  

Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest 24. 

---

$\text{b)}$  

Zapiszemy liczbę 9 w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych:

$9=3\cdot 3=3^2$  

Dodajemy teraz do wykładnika, czyli liczby 2, liczbę 1. Mamy:

$2+1=3$  

Wynika stąd, że liczba 9 ma 3 dzielniki:

$3^0,3^1,3^2$  

Czyli:

$1,3,9$  

Rozważymy rozkłady liczby 9 na czynniki, które są liczbami naturalnymi większymi od 1. Mamy dwie możliwości:

1.  $9=9$  

2.  $9=3\cdot 3$  

Mamy więc:

1.  $9=8+1,\text{co daje}{2}^8=256$  

2.  $3\cdot 3=\left(2+1\right)\cdot \left(2+1\right),\text{co daje}{2}^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$  

Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest 36.

---

$\text{c)}$  

Zapiszemy liczbę 10 w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych:

$10=2\cdot 5=2^1\cdot 5^1$  

Dodajemy teraz do każdego wykładnika liczbę 1 i pomnożymy otrzymane liczby. Mamy:

$\left(1+1\right)\cdot \left(1+1\right)=2\cdot 2=4$  

Wynika stąd, że liczba 10 ma 4 dzielniki:

$2^0=5^0,2^1,5^1,2^1\cdot 5^1$  

Rozważymy rozkłady liczby 10 na czynniki, które są liczbami naturalnymi większymi od 1. Mamy dwie możliwości:

1.  $10=10$  

2.  $10=5\cdot 2$  

Mamy więc:

1.  $10=9+1,\text{co daje}{2}^9=512$  

2.  $5\cdot 2=\left(4+1\right)\cdot \left(1+1\right),\text{co daje}{2}^4\cdot 3^1=16\cdot 3=48$  

Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest 48.

---

$\text{d)}$  

Zapiszemy liczbę 7 w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych:

$7=7=7^1$  

Dodajemy teraz do wykładnika, czyli liczby 1, liczbę 1. Mamy:

$1+1=2$  

Wynika stąd, że liczba 7 ma 2 dzielniki:

$7^0,7^1$  

Czyli:

$1,7$  

Rozważymy rozkłady liczby 7 na czynniki, które są liczbami naturalnymi większymi od 1. Mamy jedną możliwość:

1.  $7=7$  

Mamy więc:

1.  $7=6+1,\text{co daje}{2}^6=64$  

Liczbą spełniającą warunki zadania jest 64.