Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. 

W każdym przykładzie zaczniemy od szukania pierwiastków całkowitych wielomianu. 

 

$a)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{2x^3+x^2-3}}=0$

Wyraz wolny jest równy -3. Dzielniki -3 to: -3, -1, 1 oraz 3. Zauważmy, że dla x=1 wielomian przyjmuje wartość zero. 

$w\left(1\right)=2\cdot 1^3+1^2-3=2\cdot 1+1-3=2+1-3=0$

 

Jeśli x=1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

Możemy więc zapisać równanie w równoważnej postaci:

$\left(x-1\right)\cdot \underset{=9-24<0}{\underset{\Delta =3^2-4\cdot 2\cdot 3=}{\underbrace{\left(2x^2+3x+3\right)}}}=0$

Rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x=1}}$

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$

 

 

$b)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3+5x^2+6x+2}}=0$

Wyraz wolny jest równy 2. Dzielniki 2 to -2, -1, 1 oraz 2. Spróbujmy znaleźć pierwiastek całkowity tego wielomianu:

$w\left(1\right)=1^3+5\cdot 1^2+6\cdot 1+2=1+5+6+2=14\ne 0$

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+5\cdot {\left(-1\right)}^2+6\cdot \left(-1\right)+2=-1+5-6+2=0$

 

Jeśli x=-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

 

Możemy więc zapisać równanie w równoważnej postaci:

$\left(x+1\right)\cdot \underset{x_2=\frac{-4+2\sqrt{2}}{2}=-2+\sqrt{2}}{\underset{x_1=\frac{-4-2\sqrt{2}}{2}=-2-\sqrt{2}}{\underset{=\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}}{\underset{\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=}{\underset{=16-8=8}{\underset{\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 2=}{\underbrace{\left(x^2+4x+2\right)}}}}}}}=0$

Możemy zapisać równanie w postaci iloczynowej:

$\left(x+1\right)\left(x+2+\sqrt{2}\right)\left(x+2-\sqrt{2}\right)=0$

Rozwiązania równania:

$\underline{\underline{x=-1\text{lub}x=-2-\sqrt{2}\text{lub}x=-2+\sqrt{2}}}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$

 

 

$c)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3-6x^2+11x-6}}=0$