Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Wyznacz wartości współczynników 4.43 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`ul(ul("pierwszy sposób"))`

Wielomian w(x) jest wielomianem trzeciego stopnia, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, pierwiastki są postaci a, -a oraz 3a, więc postać iloczynowa wielomianu w wygląda następująco:

`w(x)=(x-a)(x+a)(x-3a)`

Wkonajmy mnożenie:

`w(x)=(x-a)(x+a)(x-3a)=(x^2-a^2)(x-3a)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-3ax^2-a^2x+3a^3`

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w(x) jest postaci:

`w(x)=x^3+px^2-4x+q`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -3a=p`

`x^1:\ \ \ -a^2=-4\ \ \ =>\ \ \ a^2=4\ \ \ =>\ \ \ a=2\ \ \ "lub"\ \ \ a=-2`

`x^0:\ \ \ 3a^3=q`

 

Mamy więc dwie możliwości:

`{(a=2), (p=-3a=-3*2=-6), (q=3a^3=3*2^3=3*8=24):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-3a=-3*(-2)=6), (q=3a^3=3*(-2)^3=3*(-8)=-24):}`

 

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

`1)\ p=-6,\ q=24`

`\ \ \ "pierwiastki:"`

`\ \ \ a=2`

`\ \ \ -a=-2`

`\ \ \ 3a=3*3=6`

 

`2)\ p=6,\ q=-24`

`\ \ \ "pierwiastki"`

`\ \ \ a=-2`

`\ \ \ -a=2`

`\ \ \ 3a=3*(-2)=-6`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`ul(ul("drugi sposób"))`

Jeśli pierwiastki wielomianu są postaci a, -a i 3a, to w(a), w(-a) oraz w(3a) są równe 0. 

`w(a)=0`

`a^3+pa^2-4a+q=0`

 

 

`w(-a)=0`

`(-a)^3+p*(-a)^2-4*(-a)+q=0`

`-a^3+pa^2+4a+q=0`

 

 

`w(3a)=0`

`(3a)^3+p*(3a)^2-4*3a+q=0`

`27a^3+9pa^2-12a+q=0`

 

 

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (-a^3+pa^2+4a+q=0), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

 

Przepiszmy pierwsze i trzecie równanie, a w miejsce drugiego równania podstawmy sumę pierwszego i drugiego równania:

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (2pa^2+2q=0\ \ \ |:2), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (pa^2+q=0\ \ \ |-q), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

`{(a^3+pa^2-4a+q=0), (pa^2=-q), (27a^3+9pa^2-12a+q=0):}`

`{(a^3-q-4a+q=0), (pa^2=-q), (27a^3+9*(-q)-12a+q=0):}`

`{(a^3-4a=0), (pa^2=-q), (27a^3-12a-8q=0):}`

Zajmijmy się pierwszym równaniem:

`a^3-4a=0`

`a(a^2-4)=0`

`a(a-2)(a+2)=0`

`a=0\ \ \ "lub"\ \ \ a-2=0\ \ \ "lub"\ \ \ a+2=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ a=-2`

Mamy więc trzy możliwości:

`{(a=0), (p*0^2=-q), (27*0^3-12*0-8q=0):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (p*2^2=-q), (27*2^3-12*2-8q=0):}\ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p*(-2)^2=-q), (27*(-2)^3-12*(-2)-8q=0):}`

`{(a=0), (0=-q\ \ \ |*(-1)), (-8q=0\ \ \ |:(-8)):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (4p=-q), (27*8-24-8q=0):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (4p=-q), (27*(-8)+24-8q=0):} `

`{(a=0), (q=0), (q=0):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4q), (192=8q\ \ \ |:8):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4q), (-192=8q\ \ \ |:8):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4q), (q=24):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4q), (q=-24):}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {(a=2), (p=-1/4*24=-6), (q=24):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ {(a=-2), (p=-1/4*(-24)=6), (q=-24):}`

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (a=0, q=0) - nie otrzymaliśmy w nim parametru p.

Mamy dwie możliwości:

`1)\ p=-6,\ \ \ q=24`

`\ \ \ "pierwiastki:"`

`\ \ \ a=2`

`\ \ \ -a=-2`

`\ \ \ 3a=3*2=6`

 

 

`2)\ p=6,\ \ \ q=-24`

`\ \ \ "pierwiastki:"`

`\ \ \ a=-2`

`\ \ \ -a=2`

`\ \ \ 3a=3*(-2)=-6`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

 

`b)`

`ul(ul("pierwszy sposób"))`

Wielomian w(x) jest wielomianem trzeciego stopnia, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, pierwiastki są postaci a, 2a oraz a+1, więc postać iloczynowa wielomianu w wygląda następująco:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-a-1)`

 

Wkonajmy mnożenie:

`w(x)=(x-a)(x-2a)(x-a-1)=(x^2-2ax-ax+2a^2)(x-a-1)=(x^2-3ax+2a^2)(x-a-1)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3-ax^2-x^2-3ax^2+3a^2x+3ax+2a^2x-2a^3-2a^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-a-1-3a)x^2+(3a^2+3a+2a^2)x+(-2a^3-2a^2)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =x^3+(-4a-1)x^2+(5a^2+3a)x+(-2a^3-2a^2)`

 

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w(x) jest postaci:

`w(x)=x^3+7x^2+px+q`

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

`x^3:\ \ \ 1=1`

`x^2:\ \ \ -4a-1=7\ \ \ =>\ \ \ -4a=8\ \ \ =>\ \ \ a=-2`

`x^1:\ \ \ 5a^2+3a=p\ \ \ =>\ \ \ p=5*(-2)^2+3*(-2)=5*4-6=20-6=14`

`x^0:\ \ \ -2a^3-2a^2=q\ \ \ =>\ \ \ q=-2*(-2)^3-2*(-2)^2=-2*(-8)-2*4=16-8=8`

 

Mamy więc następujące wartości parametrów:

`{(a=-2), (p=14), (q=8):}`

`"pierwiastki:"`

`a=-2`

`2a=2*(-2)=-4`

`a+1=-2+1=-1`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`ul(ul("drugi sposób"))`

`w(a)=0`

`a^3+7a^2+pa+q=0`

 

 

`w(2a)=0`

`(2a)^3+7*(2a)^2+p*(2a)+q=0`

`8a^3+28a^2+2pa+q=0`

 

 

`w(a+1)=0`

`(a+1)^3+7(a+1)^2+p(a+1)+q=0`

 

 

Mamy do rozwiązania układ równań:

`{(a^3+7a^2+pa+q=0), (8a^3+28a^2+2pa+q=0), ((a+1)^3+7(a+1)^2+p(a+1)+q=0):}`

 

Zauważmy, że powyższy układ równań będzie ciężko rozwiązać, dlatego nie kontynuujemy rozwiązania tym sposobem - pierwszy sposób jest dużo wygodniejszy.