$a)$

$\underline{\underline{\text{pierwszy sposoˊb}}}$

Wielomian w(x) jest wielomianem trzeciego stopnia, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki. Współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, pierwiastki są postaci a, -a oraz 3a, więc postać iloczynowa wielomianu w wygląda następująco:

$w\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x+a\right)\left(x-3a\right)$

Wkonajmy mnożenie:

$w\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x+a\right)\left(x-3a\right)=\left(x^2-a^2\right)\left(x-3a\right)=$

$=x^3-3a{x}^2-a^{2}x+3a^3$

 

Z drugiej strony wiemy, że wielomian w(x) jest postaci:

$w\left(x\right)=x^3+p{x}^2-4x+q$

 

Dwa wielomiany są równe, jeśli mają jednakowe współczynniki stojące przy tych samych potęgach, więc możemy porównać:

$x^3:1=1$

$x^2:-3a=p$

$x^1:-a^2=-4\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=2\text{lub}a=-2$

$x^0:3a^3=q$

 

Mamy więc dwie możliwości:

$\{\begin{array}{l}a=2\\ p=-3a=-3\cdot 2=-6\\ q=3a^3=3\cdot 2^3=3\cdot 8=24\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}a=-2\\ p=-3a=-3\cdot \left(-2\right)=6\\ q=3a^3=3\cdot {\left(-2\right)}^3=3\cdot \left(-8\right)=-24\end{array}$

 

 

Ostatecznie możemy zapisać odpowiedź:

$1)p=-6,q=24$

$\text{pierwiastki:}$

$a=2$

$-a=-2$

$3a=3\cdot 3=6$

 

$2)p=6,q=-24$

$\text{pierwiastki}$

$a=-2$