Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego.

W każdym przykładzie zaczniemy od szukania pierwiastków całkowitych wielomianu.

$a)$

$w (x) 2 x^{3} + x^{2} - 3 = 0$

Wyraz wolny jest równy -3. Dzielniki -3 to: -3, -1, 1 oraz 3. Zauważmy, że dla x=1 wielomian przyjmuje wartość zero.

$w (1) = 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} - 3 = 2 \cdot 1 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$

Jeśli x=1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w równoważnej postaci:

$(x - 1) \cdot = 9 - 24 < 0 Δ = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = (2 x^{2} + 3 x + 3) = 0$

Rozwiązanie równania:

$\underline{\underline{x = 1}}$

$b)$

$w (x) x^{3} + 5 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Wyraz wolny jest równy 2. Dzielniki 2 to -2, -1, 1 oraz 2. Spróbujmy znaleźć pierwiastek całkowity tego wielomianu:

$w (1) = 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + 2 = 1 + 5 + 6 + 2 = 14 \neq = 0$

$w (- 1) = (- 1)^{3} + 5 \cdot (- 1)^{2} + 6 \cdot (- 1) + 2 = - 1 + 5 - 6 + 2 = 0$

Jeśli x=-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x), to wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

Możemy więc zapisać równanie w równoważnej postaci:

$(x + 1) \cdot x_{2} = \frac{- 4 + 2 2}{2} = - 2 + 2 x_{1} = \frac{- 4 - 2 2}{2} = - 2 - 2 = 4 \cdot 2 = 22 Δ = 8 = = 16 - 8 = 8 = 0$

Możemy zapisać równanie w postaci iloczynowej:

$(x + 1) (x + 2 + 2) (x + 2 - 2) = 0$

Rozwiązania równania:

$\underline{\underline{x = - 1 lub x = - 2 - 2 lub x = - 2 + 2}}$

$c)$

$w (x) x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$

Komentarze