$a)$

$w\left(x\right)=x^4-2x^3+2x^2-2x+1=x^4-2x^3+x^2+x^2-2x+1=$

$=x^4+x^2-2x^3-2x+x^2+1=$

$=x^2\left(x^2+1\right)-2x\left(x^2+1\right)+1\left(x^2+1\right)=$

$=\left(x^2+1\right)\left(x^2-2x+1\right)=\underset{\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot 1<0}{\underbrace{\left(x^2+1\right)}}\cdot {\left(x-1\right)}^2$

Pierwszy czynnik jest czynnikiem kwadratowym o ujemnej delcie, więc nie ma pierwiastków. Jedynym pierwiastkiem wielomianu w(x) jest x=1.

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$b)$

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -8. Dzielniki -8 to: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

$w\left(1\right)=2\cdot 1^4-3\cdot 1^3-5\cdot 1^2+14\cdot 1-8=$

$=2-3-5+14-8=0$

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\underset{u\left(x\right)}{\underbrace{\left(2x^3-x^2-6x+8\right)}}$

Szukamy pierwiastków wielomianu u. Zwróćmy uwagę, że wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w, więc pierwiastek wielomianu u będzie w szczególności pierwiastkiem wielomianu w. Szukamy więc pośród wcześniej wypisanych dzielników.

$u\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)+8=-2-1+6+8=11\ne 0$

$u\left(2\right)=2\cdot 2^3-2^2-6\cdot 2+8=2\cdot 8-4-12+8=16-4-12+8=8\ne 0$

$u\left(-2\right)=2\cdot {\left(-2\right)}^3-{\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)+8=2\cdot \left(-8\right)-4+12+8=-16-4+12+8=0$

Liczba -2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+2). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\underset{\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot 4<0}{\underbrace{\left(2x^2-5x+4\right)}}$

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Pierwiastki wielomianu w to x=1 oraz x=-2.

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$c)$

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -15. Dzielniki -15 to: -15, -5, -3, -1, 1, 3, 5. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

$w\left(1\right)=1^4+3\cdot 1^3-12\cdot 1^2-13\cdot 1-15=1+3-12-13-15=-36\ne 0$

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4+3\cdot {\left(-1\right)}^3-12\cdot {\left(-1\right)}^2-13\cdot \left(-1\right)-15=1-3-12+13-15=-16\ne 0$

$w\left(3\right)=3^4+3\cdot 3^3-12\cdot 3^2-13\cdot 3-15=81+3\cdot 27-12\cdot 9-39-15=81+81-108-39-15=0$

Liczba 3 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-3). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-3\right)\underset{u\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^3+6x^2+6x+5\right)}}$

Szukamy pierwiastków wielomianu u. Zwróćmy uwagę, że wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w, więc pierwiastek wielomianu u będzie w szczególności pierwiastkiem wielomianu w. Szukamy więc pośród wcześniej wypisanych dzielników.

$u\left(5\right)=5^3+6\cdot 5^2+6\cdot 5+5=125+6\cdot 25+30+5\ne 0$

$u\left(-5\right)={\left(-5\right)}^3+6\cdot {\left(-5\right)}^2+6\cdot \left(-5\right)+5=-125+6\cdot 25-30+5=0$

Liczba -5 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+5). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+5\right)\underset{\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1<0}{\underbrace{\left(x^2+x+1\right)}}$

Czynnik kwadratowy ma ujemną deltę, więc nie ma pierwiastków. Pierwiastki wielomianu w to x=3 oraz x=-5.

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$d)$

Wiemy, że jeśli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Dzielniki -2 to: -2, -2, -1, 1, 2. Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

$w\left(1\right)=1^4-2\cdot 1^3-2\cdot 1^2+5\cdot 1-2=1-2-2+5-2=0$

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne. 

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\underset{u\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^3-x^2-3x+2\right)}}$

Szukamy pierwiastków wielomianu u. Zwróćmy uwagę, że wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w, więc pierwiastek wielomianu u będzie w szczególności pierwiastkiem wielomianu w. Szukamy więc pośród wcześniej wypisanych dzielników.

$u\left(2\right)=2^3-2^2-3\cdot 2+2=8-4-6+2=0$

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\underset{x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}{\underset{x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}}{\underset{\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}}{\underset{=1+4=5}{\underset{\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=}{\underbrace{\left(x^2+x-1\right)}}}}}}=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$

Pierwiastki wielomianu:

$x\in \left\{1;2;\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}$