Będziemy korzystać z twierdzenia mówiącego o tym, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny x=^p/_q, (ułamek jest nieskracalny, czyli liczby p i q są względnie pierwsze), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższej potędze. 

 

$a)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{2x^3-7x^2-2x+1}}=0$

Wielomian ma współczynniki całkowite. Wypiszmy zbiory możliwych p oraz q:

$p\in \left\{-1;1\right\}$

$q\in \left\{-2;-1;1;2\right\}$

 

Szukamy pierwiastków postaci ^p/_q:

$w\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3-7\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{2}-1=$

$=2\cdot \frac{1}{8}-7\cdot \frac{1}{4}-1-1=$

$=\frac{1}{4}-\frac{7}{4}-2=-\frac{6}{4}-2\ne 0$

$w\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3-7\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1=$

$=2\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)-7\cdot \frac{1}{4}+1+1=$

$=-\frac{1}{4}-\frac{7}{4}+2=-\frac{8}{4}+2=-2+2=0$

Liczba -¹/₂ jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x+¹/₂). Wykonajmy dzielenie pisemne.

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(2x^2-8x+2\right)=0\mid :2$

$\left(x+\frac{1}{2}\right)\underset{x_2=2+\sqrt{3}}{\underset{x_1=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}}{\underset{\sqrt{\Delta }=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}}{\underset{=16-4=12}{\underset{\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=}{\underbrace{\left(x^2-4x+1\right)}}}}}}=0$

$\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-2+\sqrt{3}\right)\left(x-2-\sqrt{3}\right)=0$

$\underline{\underline{x\in \left\{-\frac{1}{2};2-\sqrt{3};2+\sqrt{3}\right\}}}$

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$