Będziemy korzystać z twierdzenia mówiącego o tym, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

 

$a)$

Przekształcimy równanie tak, aby po jednej stronie otrzymać wielomian o współczynnikach całkowitych, a po drugiej zero. 

$\frac{1}{2}{x}^3+7=3x\left(x+\frac{3}{2}\right)$

$\frac{1}{2}{x}^3+7=3x^2+\frac{9}{2}x\mid \cdot 2$

$x^3+14=6x^2+9x\mid -6x^2-9x$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{x^3-6x^2-9x+14}}=0$

Wyraz wolny to 14. Dzielniki 14 to: -14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14. Poszukajmy wśród tych dzielników pierwiastków całkowitych wielomianu w:

$w\left(1\right)=1^3-6\cdot 1^2-9\cdot 1+14=$

$=1-6-9+14=0$

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne:

 

 

Możemy więc zapisać równanie w następującej postaci:

$\left(x-1\right)\underset{x_2=\frac{5+9}{2}=7}{\underset{x_1-\frac{5-9}{2}=-2}{\underset{\sqrt{\Delta }=9}{\underset{=25+56=81}{\underset{\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-14\right)=}{\underbrace{\left(x^2-5x-14\right)}}}}}}=0$

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-7\right)=0$

$\underline{\underline{x\in \left\{1;-2;7\right\}}}$

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$

     

 

$b)$