$a)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^4+2x^3-4x^2-2x+3\right)}}=0$

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 3. Jedyne dzielniki 3 to -3, -1, 1, 3.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

$w\left(1\right)=1^4+2\cdot 1^3-4\cdot 1^2-2\cdot 1+3=$

$=1+2-4-2+3=0$

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^3+3x^2-x-3\right)=\left(x-1\right)\left(x^3-x+3x^2-3\right)=$

$=\left(x-1\right)\left(x\left(x^2-1\right)+3\left(x^2-1\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x^2-1\right)\left(x+3\right)=$

$=\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)\left(x+3\right)$

 

Wracamy do równania:

${\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0$

$\underline{\underline{x=1\text{lub}x=-1\text{lub}x=-3}}$

 

 

$\underline{\underline{\underline{\underline{}}}}$

 

 

$b)$

$\underset{w\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^4-x^3-2x-4\right)}}=0$

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -4. Jedyne dzielniki -4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

$w\left(1\right)=1^4-1^3-2\cdot 1-4=1-1-2-4=-6\ne 0$

$w\left(2\right)=2^4-2^3-2\cdot 2-4=16-8-2\cdot 2-4=0$

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

$w\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^3+x^2+2x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)\right)=$

$=\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x^2+2\right)$

Wracamy do równania:

$\left(x-2\right)\left(x+1\right)\underset{\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot 2<0}{\underbrace{\left(x^2+2\right)}}=0$