Matematyka

Rozwiąż równanie 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

`#underbrace((x^4+2x^3-4x^2-2x+3))_(w(x))=0`

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy 3. Jedyne dzielniki 3 to -3, -1, 1, 3.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4+2*1^3-4*1^2-2*1+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1+2-4-2+3=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)(x^3+3x^2-x-3)=(x-1)(x^3-x+3x^2-3)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x(x^2-1)+3(x^2-1))=(x-1)(x^2-1)(x+3)=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-1)(x-1)(x+1)(x+3)=(x-1)^2(x+1)(x+3)`

 

Wracamy do równania:

`(x-1)^2(x+1)(x+3)=0`

`ul(ul(x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`b)`

`#underbrace((x^4-x^3-2x-4))_(w(x))=0`

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -4. Jedyne dzielniki -4 to -4, -2, -1, 1, 2, 4.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4-1^3-2*1-4=1-1-2-4=-6ne0`

`w(2)=2^4-2^3-2*2-4=16-8-2*2-4=0`

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-2)(x^3+x^2+2x+2)=(x-2)(x^2(x+1)+2(x+1))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-2)(x+1)(x^2+2)`

Wracamy do równania:

`(x-2)(x+1)#underbrace((x^2\ \ + \ \ 2))_(Delta=0^2-4*1*2<0)=0`

`ul(ul(x=2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

 

`c)`

`#underbrace(2x^4-3x^3-3x-2)_(w(x))=0`

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -2. Jedyne dzielniki -4 to -2, -1, 1, 2.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=2*1^4-3*1^3-3*1-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =2-3-3-2=-6ne0`

`w(-1)=2*(-1)^4-3*(-1)^3-3*(-1)-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =2+3+3-2=6ne0`

`w(2)=2*2^4-3*2^3-3*2-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =2*16-3*8-6-2=`

`\ \ \ \ \ \ \ =32-24-8=0`

Liczba 2 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-2). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-2)(2x^3+x^2+2x+1)=(x-2)(x^2(2x+1)+1(2x+1))=`

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-2)(2x+1)(x^2+1)`

 

Wracamy do równania:

`(x-2)(2x+1)#underbrace((x^2 \ \ + \ \ 1))_(Delta=0^2-4*1*1<0)=0`

`ul(ul(x=2\ \ \ \"lub"\ \ \ x=-1/2))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`d)`

`x^4+x^3-4x^2=3-5x\ \ \ |+5x-3`

`#underbrace((x^4+x^3-4x^2+5x-3))_(w(x))=0`

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -3. Jedyne dzielniki -4 to -3, -1, 1, 3.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4+1^3-4*1^2+5*1-3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =1+1-4+5-3=0`

 

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:
`w(x)=(x-1)#underbrace((x^3+2x^2-2x+3))_(u(x))` 

Pośród pozostałych dzielników szukamy pierwiastków wielomianu u (bierzemy te same dzielniki, bo jeśli coś byłoby pieriwastkiem wielomianu u, to byłoby także pierwiastkiem wielomianu u, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

`u(3)=3^3+2*3^2-2*3+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =27+2*9-6+3ne0`

`u(-3)=(-3)^3+2*(-3)^2-2*(-3)+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-27+2*9+6+3=`

`\ \ \ \ \ \ \ =-27+18+9=0`

Liczba -3 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+3). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:
`w(x)=(x-1)(x+3)(x^2-x+1)` 

Wracamy do równania:

`(x-1)(x+3)#underbrace((x^2-x+1))_(Delta=(-1)^2-4*1*1<0)=0`

`ul(ul(x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-3))`

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`e)`

`x^4+x+6=x^3+7x^2\ \ \ \ |-x^3-7x^2`

`x^4-x^3-7x^2+x+6=0`

`x^4-x^3-6x^2-x^2+x+6=0`

`x^4-x^3-x^2+x-6x^2+6=0`

`x^3(x-1)-x(x-1)-6(x^2-1)=0`

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`x^3(x-1)-x(x-1)-6(x-1)(x+1)=0`

Wyciągamy (x-1) przed nawias:

`(x-1)(x^3-x-6(x+1))=0`

`(x-1)(x^3-x-6x-6)=0`

`#underbrace((x-1)#underbrace((x^3-7x-6))_(u(x)))_(w(x))=0`

Szukamy pierwiastków wielomianu u wśród dzielników -6, czyli wśród liczb -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6.

`u(1)=1^3-7*1-6=1-7-6ne0`

`u(-1)=(-1)^3-7*(-1)=-6=-1+7-6=0`

 

Liczba -1 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+1). Wykonajmy dzielenie pisemne.  

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)(x+1)#(#(#(#(#underbrace((x^2\ -\ x\ -\ 6))_(Delta=(-1)^2-4*1*(-6)=))_(=1+24=25))_(sqrtDelta=5))_(x_1=(1-5)/2=-2))_(x_2=(1+5)/2=3)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)`

 

Wracamy do równania:

`(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)=0`

`ul(ul(x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2\ \ \ "lub"\ \ \ x=3))`

 

 

`ul("uwaga")`

Mając równość:

`x^3(x-1)-x(x-1)-6(x^2-1)=0`

można było postąpić w inny sposób. Wyciągmy (x-1) przed nawias wyłącznie z dwóch pierwszych wyrazów:

`(x-1)(x^3-x)-6(x^2-1)=0`

`(x-1)x(x^2-1)-6(x^2-1)=0`

`x(x-1)(x^2-1)-6(x^2-1)=0`

Wyciągamy (x²-1) przed nawias:

`(x^2-1)(x(x-1)-6)=0`

`(x^2-1)(x^2-x-6)=0`

Dalej rozwiązanie jest takie samo. 

  

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

 

`f)`

`x^4+x^2=8-6x\ \ \ |+6x-8`

`#underbrace(x^4+x^2+6x-8)_(w(x))=0`

Wiemy, że jeśli wielomian o współczynnikach całowitych ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego. Wyraz wolny wielomianu w jest równy -8. Jedyne dzielniki -8 to -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8.  Szukamy pierwiastków wielomianu w pośród tych dzielników:

`w(1)=1^4+1^2+6*1-8=1+1+6-8=0`

Liczba 1 jest więc pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-1). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)#underbrace((x^3+x^2+2x+8))_(u(x))`

Pośród pozostałych dzielników szukamy pierwiastków wielomianu u (bierzemy te same dzielniki, bo jeśli coś byłoby pieriwastkiem wielomianu u, to byłoby także pierwiastkiem wielomianu u, ponieważ wielomian u jest czynnikiem składającym się na wielomian w)

`u(-2)=(-2)^3+(-2)^2+2*(-2)+8=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ =-8+4-4+8=0`

Liczba -2 jest więc pierwiastkiem wielomianu u, więc wielomian u jest podzielny przez dwumian (x+2). Wykonajmy dzielenie pisemne.   

Możemy więc zapisać wielomian w w następującej postaci:

`w(x)=(x-1)(x+2)(x^2-x+4)`

 

Wracamy do równania:

`(x-1)(x+2)#underbrace((x^2-x+4))_(Delta=(-1)^2-4*1*4<0)=0`

`ul(ul(x=1\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2))`

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dodawanie ułamków dziesiętnych

Dodawanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym jest bardzo podobne do dodawania liczb naturalnych:

  1. Ułamki podpisujemy tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem ( cyfra jedności pod cyfrą jedności, cyfra dziesiątek pod cyfrą dziesiątek, cyfra setek pod cyfrą setek itd.);
  2. W miejsce brakujących cyfr po przecinku można dopisać zera;
  3. Ułamki dodajemy tak jak liczby naturalne, czyli działania prowadzimy od kolumny prawej do lewej i wykonujemy je tak, jak gdyby nie było przecinka;
  4. W uzyskanym wyniku stawiamy przecinek tak, aby znajdował się pod napisanymi już przecinkami.

Przykład:

  • $$ 1,57+7,6=?$$
    dodawanie-ulamkow-1 

    $$1,57+7,6=8,17 $$

Skala i plan

Przy wykonywaniu rysunków niektórych przedmiotów lub sporządzaniu map, planów musimy zmniejszyć rzeczywiste wymiary przedmiotów, aby rysunki zmieściły się na kartce. Są też rzeczy niewidoczne dla oka, które obserwujemy za pomocą mikroskopu, wówczas rysunki przedstawiamy w powiększeniu.
W tym celu stosujemy pewną skalę. Skala określa, ile razy dany obiekt został pomniejszony lub powiększony. Rozróżniamy zatem skale zmniejszające i zwiększające.

Skala 1:2 („jeden do dwóch”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy mniejszy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy mniejsze od rzeczywistych.

Skala 2:1 („dwa do jednego”) oznacza, że przedstawiony obiekt jest dwa razy większy od rzeczywistego, czyli jego wymiary są dwa razy większe od rzeczywistych.

Skala 1:1 oznacza, że przedstawiony obiekt jest taki sam jak rzeczywisty.

Przykład:

skala
 

Prostokąt środkowy jest wykonany w skali 1:1. Mówimy, że jest naturalnej wielkości. Prostokąt po lewej stronie został narysowany w skali 1:2, czyli jego wszystkie wymiary zostały zmniejszone dwa razy. Prostokąt po prawej stronie został narysowany w skali 2:1, czyli jego wszystkie wymiary zostały zwiększone dwa razy.

 

Przykłady na odczytywanie skali:

  • skala 1:50 oznacza zmniejszenie 50 razy
  • skala 20:1 oznacza zwiększenie 20 razy
  • skala 1:8 oznacza zmniejszenie 8 razy
  • skala 5:1 oznacza zwiększenie 5 razy
 

Plan to obraz niewielkiego obszaru, terenu, przedstawiony na płaszczyźnie w skali. Plany wykonuje się np. do przedstawienia pokoju, mieszkania, domu, rozkładu ulic w osiedlu lub mieście.

Mapa to podobnie jak plan obraz obszaru, tylko większego, przedstawiony na płaszczyźnie w skali (mapa musi uwzględniać deformację kuli ziemskiej). Mapy to rysunki terenu, kraju, kontynentu.

Skala mapy
Na mapach używa się skali pomniejszonej np. 1:1000000. Oznacza to, że 1 cm na mapie oznacza 1000000 cm w rzeczywistości (w terenie).

Przykłady na odczytywanie skali mapy
  • skala 1:500000 oznacza, że 1 cm na mapie to 500000 cm w rzeczywistości
  • skala 1:2000 oznacza, że 1 cm na mapie to 2000 cm w rzeczywistości
Zobacz także
Udostępnij zadanie