Dane:

$n=1\text{mol}$  

$C_V=\frac{3}{2}R$  

$Q=100\text{J}$  

Szukane:

$W=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$pV=nRT$  

gdzie:

$p$  - ciśnienie gazu, 

$V$  - objętość gazu, 

$n$  - liczba moli gazu, 

$R$  - stała gazowa, 

$T$  - temperatura gazu doskonałego. 

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q=n{C}_p\Delta T$  

gdzie:

$Q$  - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$  - liczba moli gazu,

$C_p$  - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$\Delta T$  - zmiana temperatury gazu.

Wiemy, że spełniona jest zależność:

$C_p-C_V=R$  

gdzie:

$C_p$  - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$C_V$  - ciepło molowe przy stałej objętości,

$R$  - stała gazowa.

Zatem:

$C_p-C_V=R\text{|}+C_V$  

$C_p=C_V+R$  

Ilość pracy wykonanej przez siłę parcia opisuje wzór:

$\left|W\right|=p\left|\Delta V\right|$  

gdzie:

$p$  - ciśnienie gazu,

$\Delta V$  - zmiana objętości gazu.

Zmianę objętości opisuje wzór:

$\Delta V=V_2-V_1$   

Zgodnie z treścią zadania przemiana jest izobaryczna zatem ciśnienie w przemianie jest stałe:

$p=\text{const}$  

Załóżmy, że gaz znajduję się na początku w stanie 1, który opisany jest parametrami:

$p,V_1,T_1$  

W wyniku przemiany gaz przechodzi do stanu 2, który opiszemy za pomocą parametrów:

$p,V_2,T_2$  

Zgodnie z równaniem Clapeyrona zależność pomiędzy parametrami gazu wygląda następująca:

▶ stan 1

$p{V}_1=nR{T}_1\text{| : }p$

$V_1=\frac{nR{T}_1}{p}$   

▶ stan 2

$p{V}_2=nR{T}_2\text{| : }p$

$V_2=\frac{nR{T}_2}{p}$   

Zatem wzór na zmianę objętości przyjmuję postać:

$\Delta V=\frac{nR{T}_2}{p}-\frac{nR{T}_1}{p}$   

$\Delta V=\frac{nR}{p}\left(T_2-T_1\right)$   

$\Delta V=\frac{nR}{p}\Delta T$   

 

Korzystając ze wzoru na ilość ciepła mamy:

$Q=n{C}_p\Delta T\text{| : }n{C}_p$  

$\Delta T=\frac{Q}{n{C}_p}$  

 

Wprowadzamy wszystkie wyznaczone zależności do wzoru na ilość wykonanej pracy przez siłę parcia:

$\left|W\right|=p\left|\Delta V\right|$  

$\left|W\right|=p\frac{nR}{p}\Delta T$  

$\left|W\right|=\cancel{p}\frac{nR}{\cancel{p}}\Delta T$  

$\left|W\right|=nR\Delta T$  

$\left|W\right|=nR\frac{Q}{n{C}_p}$  

$\left|W\right|=\cancel{n}R\frac{Q}{\cancel{n}{C}_p}$  

$\left|W\right|=\frac{RQ}{C_p}$  

$\left|W\right|=\frac{RQ}{C_V+R}$  

$\left|W\right|=\frac{RQ}{\frac{3}{2}R+R}$  

$\left|W\right|=\frac{RQ}{\frac{3}{2}R+\frac{2}{2}R}$  

$\left|W\right|=\frac{RQ}{\frac{5}{2}R}$  

$\left|W\right|=\frac{\cancel{R}Q}{\frac{5}{2}\cancel{R}}$  

$\left|W\right|=\frac{Q}{\frac{5}{2}}$  

$\left|W\right|=\frac{2}{5}Q$  

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$\left|W\right|=\frac{2}{5}\cdot 100\text{J}=40\text{J}$  

Odpowiedź: Ilość wykonanej pracy przez siłę parcia wynosi 40 J.