II gimnazjum

Matematyka wokół nas 2

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/24179/wb73AP7jT6L6xe1%2BqMJzmA%3D%3D_df4ad01be7966500916a979c77e5c39bddeb99caf877b2bf60eb55fc325377c6.jpg" width="216" height="217"> W koło wpisano trójkąt foremny, więc inaczej możemy powiedzieć, że koło opisano na trójkącie foremnym (równobocznym). Przypomnijmy zależność: Promień koła opisanego na trójkącie równobocznym ma długość równą: R=32​H   gdzie H - wysokość trójkąta równobocznego   Znamy długość obwodu koła 6π cm , obliczmy więc jego promień. Korzystamy ze wzoru na obwód koła: Ok​=2πR

Rozwiązanie 1

Sześciokąt foremny możemy podzielić na sześć trójkątów równobocznych, których długości boków są równe długościom boków sześciokąta foremnego. Ps​=6⋅Ptr​   Ps - pole sześciokąta foremnego o boku a Ptr - pole trójkąta równobocznego o boku a   Pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru: Ptr​=4a23<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/24183/ZWJJC%2BFTV5%2BJ%2BywMkEHYKg%3D%3D_fa98ddfd9e57ee31f3759b91a61e04ffbfac7da35d0218d4b38b74f53129b92f.jpg"> W koło wpisano czworokąt foremny. Inaczej możemy powiedzieć, że na kwadracie opisano koło. Przypomnijmy zależność: promień koła opisanego na kwadracie o boku a wyraża się wzorem: R=2a2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​   Znamy pole koła, więc obliczamy długość promienia. Korzystamy ze wzoru na pole koła: Pk​=πR2    6,25π=πR2          ∣:π

W każdym z przykładów otrzymujemy trójkąty równoramienne o długości ramion równych długości promienia (R) okręgu opisanego na danym wielkącie foremnym. <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/24184/QZdO/rEtL%2BlFbKClE2nz9A%3D%3D_2c85c9c3712fe877362bf4f4bda8783ff14e9299c3dc1e4c8cac04ccb0c2961a.jpg" width="254" height="224"> Pięciokąt foremny podzielono na pięć trójkątów równoramiennych.  Obliczamy miarę kąta α. Kąt pełny podzielono na 5 części, a kąt α stanowi jedną z pięciu części, więc: α=360o:5=72o    Trójkąt jest równoramienny, więc przy podstawie a kąty mają taką samą miarę. Obliczmy miarę kąta ß (korzystamy z tego, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°). α+2β=180o   72o+2β=180o    2β=108o   β=54o   Zauważmy, że miara kąta γ, czyli kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego, jest równa dwóm miarom kąta ß: γ=2β

Jeżeli wielokąt ma n boków, to suma wszystkich jego kątów jest równa: 180o⋅(n−2)      a) Obliczamy miarę kąta w czworokącie foremnym: Czworokąt foremny, czyli kwadrat, ma 4 boki, więc n=4. Korzystając z powyższego wzoru obliczamy miarę wszystkich jego kątów: 180o⋅(4−2)=180o⋅2=360o   W kwadracie są 4 kąty o takiej samej miarze, więc miara jednego kąta wynosi: 360o:4=90o

W wielokącie, który ma n boków, sumę wszystkich kątów obliczymy korzystając ze wzoru: 180o⋅(n−2)    Aby obliczyć miarę jednego kąta musimy sumę wszystkich kątów podzielić przez ich ilość tych kątów, czyli przez n (wielokąt o n bokach ma n kątów wewnętrznych), czyli miarę jednego kąta wewnętrzenego wielokąta o n bokach będziemy obliczać ze wzoru: n180o⋅(n−2)​    W zadaniu znamy miarę jednego z kątów wielokąta foremnego. Bedziemy więc przyrównywać daną miarę do wzoru i obliczać n.   a) 156o   156o=n180o⋅(n−2)​              ∣⋅n   156on=180on−360o             ∣−180on

<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/64990/hp%2BNj8QEChPeKtfQzMGI7w%3D%3D_0f2153a44cf7e9def3d11c8d51bb9664875c85635bf2d8a79859111da3e8cc30.jpg" width="234" height="198">    Koło wpisano w trójkąt foremny. Przypomnijmy zależność pomiędzy długością promienia koła wpisanego w trójkąt a wysokością tego trójkąta. r=31​H   gdzie r - promień koła wpisanego w trójkąt foremny, H - wysokość tego trójkąta   Znamy pole koła, obliczymy więc jego promień: 12π=πr2        ∣:π   r2=12

Rysunek pomocniczy:  <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/64991/B33Ot6kX3YZYYSu01UkR3Q%3D%3D_928558dd4c373d931ba6fc150a855126f09e6e52173ea6dff675b8ffe89c4d7b.jpg" width="294" height="277"> Wiemy, że odległość pomiędzy dwoma przeciwległymi bokami jest równa 12 cm. Jeżeli sześciokąt foremny podzielimy na 6 trójkątów równobocznych, to odcinek o długości 12 cm możemy przeprowadzić w taki sposób, aby przechodził przez punkt będący wspólnbym wierzchołkiem każdego z trójkątów. Odcienk o długości 12 cm jest stanowi wówczas wysokości dwóch trójkątów równobocznych. Stąd wysokość trójkąta równobocznego jest równa: h=6 cm   Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym obliczamy długość boku a: h=2a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​   6=2a3<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​              ∣⋅2