a) Mamy ostrosłup prawidłowy trójkątny. W jego podstawie jest trójkąt równoboczny o boku a=6cm. Aby policzyć objętość ostrosłupa, trzeba wyznaczyć wysokość ostrosłupa, którą oznaczymy jako H. Wiemy, że krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do podstawy pod kątem 30 stopni, zatem krawędź boczna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30 i 60 stopni , w którym przyprostokątna naprzeciw kąta 30 stopni ma długość H, a przyprostokątna naprzeciw kąta 60 stopni ma długość równą $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta równobocznego o boku a=6cm.

Policzmy długość przyprostokątnej naprzecia kąta 60 stopni

$\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}cm$

Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30 i 60 stopni mamy

$2\sqrt{3}=H\sqrt{3}$

$H=2cm$

Możemy policzyć objętość ostrosłupa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}c{m}^2$

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 2=6\sqrt{3}c{m}^3$

b) Mamy ostrosłup prawidłowy czworokątny. W podstawie jest kwadrat o przekątnej długości 6cm. Policzmy długość boku kwadratu, którą oznaczymy jako a.

$6=a\sqrt{2}$

$a=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}cm$

Wiemy, że krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni, zatem krawędź boczna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30 i 60 stopni , w którym przyprostokątna naprzeciw kąta 60 stopni ma długość H, a przyprostokątna naprzeciw kąta 30  stopni ma długość równą $\frac{1}{2}$   przekątnej podstawy ostrosłupa, czyli jej długość wynosi $\frac{1}{2}\cdot 6=3cm$ .

Z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30 i 60 stopni mamy

$H=3\sqrt{3}cm$

Możemy policzyć objętość ostrosłupa

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$

$P_p=a^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18c{m}^2$

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 3\sqrt{3}=18\sqrt{3}c{m}^3$