III gimnazjum

Matematyka z plusem 3

Objętość stożka dana jest wzorem: V=31​πr2⋅H więc a) gdy wysokość zwiększy się 2 razy to V=31​πr2⋅2H

Rozwiązanie 1

Obliczamy powierzchnie wyższej czapeczki: P=Pb​ Pb​=π⋅r⋅l=10⋅30π=300πcm2

Objętość kieliszka obliczamy ze wzoru: V=1/3P_p*H=1/3*pir^2*H V=1/3*8^2*9=192cm^3 Odlewamy połowe zawartości czyli 192/2=96cm^2 Korzystamy ze wzoru na objętość stożka oraz z podobieństwa trójkątów: {96π=31​πr2⋅h89​=rh​​⇒r=98​h

Pierwszy wycinek: 360α​⋅2πr=36040​⋅2π⋅5=91​⋅10π=109π​ obwod 2πr=109π​

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/55051/274Z5kdS4k927LWwuu7Y7w%3D%3D_3826d5353a35ea74a3aaef03f9e712baf66f35282db0f42faba1e35046784214.jpg" width="275" height="233"> Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku. Trójkąty ABC oraz DEC są trójkątami prostokątnymi. Trójkąty ABC oraz DEC są trójkątatami podobnymi z cechy kkk (mają wwspólny kąt ∠DCE=∠ACB oraz kąty BAC i EDC są kątami prostymi). Korzystając z podobieństwa trójkątów wyznaczymy długość odcinka x: 6x​=10x+6​           ∣⋅60    10x=6(x+6)     10x=6x+36          ∣−6x

objętość i pole powierzchni kuli o promieniu 3 V=34​πr3=27⋅34​π=36π

V=4/3pi*6^3=288pi=904 objętość duzej kuli

Miseczka w kształcie kuli:
V=4/3pir^3
V=4/3pi6^3=288pi

a) 9π=πr2 r=3 P=4πr2=9⋅4π=36π

P=30π=2πr2+πr Czyli to jest połowa powierzchni kuli oraz pole koła.