Treść:

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ tego sześcianu. Punkty $A$, $C$, $D$, $S$ są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek).

Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa $ACDS$ jest mniejsza od objętości sześcianu $ABCDEFGH$. Zapisz obliczenia. 

---

Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa jest $12$ razy mniejsza od objętości sześcianu.

---

Wyjaśnienie:

Obliczamy objętość sześcianu o krawędzi długości $a$.

$V_{\text{szesˊcianu}}=a^3$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa, czyli pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $a$ i $a$.

$P_p=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}{a}^2$

Obliczamy objętość ostrosłupa. Zauważmy, że wysokość tego ostrosłupa jest równa długości odcinka $DS$, czyli:

$\left|DS\right|=\frac{1}{2}a$

Zatem mamy:

$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H$

$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{a}^2\cdot \frac{1}{2}a$

$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac{1}{12}{a}^3$

Obliczamy ile razy objętość ostrosłupa jest mniejsza od objętości sześcianu.

$\frac{a^3}{\frac{1}{12}{a}^3}=\frac{1}{\frac{1}{12}}=1:\frac{1}{12}=1\cdot \frac{12}{1}=12$

Objętość ostrosłupa jest $12$ razy mniejsza od objętości sześcianu.