Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej długości $c$ prawdziwa jest równość $a^2+b^2=c^2$

---

Znając długości przyprostokątnych $x$ i $y$, chcemy obliczyć obwody rozważanych trójkątów prostokątnych. Zaczniemy od obliczenia długości przeciwprostokątnych $z$, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

a)

$x=\sqrt{2}+1\text{i}y=\sqrt{2}-1$

Obliczmy długość przeciwprostokątnej $z$:

$z^2=x^2+y^2={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2=\left(2+2\sqrt{2}+1\right)+\left(2-2\sqrt{2}+1\right)=6$

$z=\sqrt{6}$

Stąd, obwód trójkąta jest równy

$x+y+z=\left(\sqrt{2}+1\right)+\left(\sqrt{2}-1\right)+\sqrt{6}=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$

Odpowiedź: $Obw.=2\sqrt{2}+\sqrt{6}$

---

b)

$x=2\sqrt{3}-\sqrt{2}\text{i}y=2\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Obliczmy długość przeciwprostokątnej $z$:

$z^2=x^2+y^2={\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2=\left({\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right)+\left({\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2\right)=2^2\cdot 3+2+2^2\cdot 2+3=25$

$z=\sqrt{25}=5$

Stąd, obwód trójkąta jest równy

$x+y+z=\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+5=\sqrt{2}+3\sqrt{3}+5$

 Odpowiedź: $Obw.=\sqrt{2}+3\sqrt{3}+5$