Usuń niewymierność z mianownika...- Zadanie 12: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi:

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

W zadaniu należy usunąć niewymierności z mianowników. W tym celu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia.

$\frac{3}{3 - 1} = \frac{3 \cdot ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) \cdot ( 3 + 1 )} = \frac{3 3 + 3}{( 3 ) ^{2} - 1 ^{2}} = \frac{3 3 + 3}{3 - 1} = \frac{3 3 + 3}{2}$

$\frac{4}{2 + 3} = \frac{4 \cdot ( 2 - 3 )}{( 2 + 3 ) \cdot ( 2 - 3 )} = \frac{4 2 - 12}{( 2 ) ^{2} - 3 ^{2}} = \frac{4 2 - 12}{2 - 9} = \frac{4 2 - 12}{- 7} = \frac{12 - 4 2}{7}$

$\frac{3}{3 + 1} = \frac{3 \cdot ( 3 - 1 )}{( 3 + 1 ) \cdot ( 3 - 1 )} = \frac{3 - 3}{( 3 ) ^{2} - 1 ^{2}} = \frac{3 - 3}{3 - 1} = \frac{3 - 3}{2}$

$\frac{2 6}{3 - 2} = \frac{2 6 \cdot ( 3 + 2 )}{( 3 - 2 ) \cdot ( 3 + 2 )} = \frac{2 6 \cdot 3 + 2 \cdot 2 6}{( 3 ) ^{2} - 2 ^{2}} = \frac{2 18 + 4 6}{3 - 4} = \frac{2 9 \cdot 2 + 4 6}{- 1} = \frac{2 \cdot 3 2 + 4 6}{- 1} = \frac{6 2 + 4 6}{- 1} = - 62 - 42$

$\frac{1}{3 - 2} = \frac{1 \cdot ( 3 + 2 )}{( 3 - 2 ) \cdot ( 3 + 2 )} = \frac{3 + 2}{( 3 ) ^{2} - ( 2 ) ^{2}} = \frac{3 + 2}{3 - 2} = 3 + 2$

$\frac{2}{6 + 2} = \frac{2 \cdot ( 6 - 2 )}{( 6 + 2 ) \cdot ( 6 - 2 )} = \frac{2 6 - 2 2}{( 6 ) ^{2} - ( 2 ) ^{2}} = \frac{2 6 - 2 2}{6 - 2} = \frac{2 6 - 2 2}{4} = \frac{6 - 2}{2}$

$\frac{3 + 2}{3 - 2} = \frac{( 3 + 2 ) \cdot ( 3 + 2 )}{( 3 - 2 ) \cdot ( 3 + 2 )} = \frac{( 3 + 2 ) ^{2}}{( 3 ) ^{2} - 2 ^{2}} = \frac{( 3 ) ^{2} + 4 3 + 2 ^{2}}{3 - 4} = \frac{3 + 4 3 + 4}{- 1} = \frac{7 + 4 3}{- 1} = - 7 - 43$

$\frac{2 - 1}{2 2 + 1} = \frac{( 2 - 1 ) ( 2 2 - 1 )}{( 2 2 + 1 ) ( 2 2 - 1 )} = \frac{2 \cdot 2 2 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 2 + 1 \cdot 1}{( 2 2 ) ^{2} - 1 ^{2}} = \frac{2 \cdot 2 - 2 - 2 2 + 1}{2 ^{2} \cdot 2 - 1} = \frac{5 - 3 2}{7}$