a)

Chcemy udowodnić, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest nieparzysta. Dwie kolejne liczby naturalne można oznaczyć przez

$n\text{i}n+1$

Suma kwadratów tych liczb jest równa

$n^2+{\left(n+1\right)}^2=n^2+n^2+2n+1=2n^2+2n+1=2\left(n^2+n\right)+1$

Otrzymaliśmy sumę iloczynu liczby $2$ z liczbą naturalną $n^2+n$ oraz liczby $1$. To kończy dowód, że rozważana liczba nie jest podzielna przez $2$.

---

b)

Chcemy udowodnić, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych nie jest podzielna przez $4$. Dwie kolejne liczby nieparzyste można oznaczyć przez

$2n+1\text{i}2n+3$

Suma kwadratów tych liczb jest równa

${\left(2n+1\right)}^2+{\left(2n+3\right)}^2=\left(4n^2+4n+1\right)+\left(4n^2+12n+9\right)=8n^2+16n+8+2=4\left(2n^2+4n+2\right)+2$

Otrzymaliśmy sumę iloczynu liczby $4$ z liczbą naturalną $2n^2+4n+2$ oraz liczby $2$. Stąd, rozważana liczba daje resztę $2$ w dzieleniu przez $4$, co oznacza, że nie jest podzielna przez $4$.