Rozszerzanie

Rozszerzanie ułamków algebraicznych polega na pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez takie samo wyrażenie (różne od zera).

Przykład 3. Dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-1,0,1\right\}$ rozszerz ułamek $\frac{x+2}{x^2-x}$ tak, by w mianowniku powstało wyrażenie $x^3-x$.

Rozwiązanie

$\frac{x+2}{x^2-x}=\frac{?}{x^3-x}$

$\frac{x+2}{x\left(x-1\right)}=\frac{?}{x\left(x^2-1\right)}$

$\frac{x+2}{x\left(x-1\right)}=\frac{?}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$        

Należy więc pomnożyć licznik i mianownik ułamka $\frac{x+2}{x^2-x}$ przez wyrażenie $x+1$.

$\frac{\left(x+2\right)\cdot \left(x+1\right)}{x\left(x-1\right)\cdot \left(x+1\right)}=\frac{x^2+2x+x+2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+3x+2}{x^3-x}$