Wykaż, że nierówność
                                                 ${\mathbf{x}}^4+2{\mathbf{x}}^3+3{\mathbf{x}}^2+2\mathbf{x}+2>0$
jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą $\mathbf{x}$.

Rozwiązanie

 $\left(x^4+2x^3+x^2\right)+\left(2x^2+2x+2\right)>0$
${\left(x^2+x\right)}^2+\left(2x^2+2x+2\right)>0$
${\left(x^2+x\right)}^2+x^2+\left(x^2+2x+1\right)+1>0$
$\underset{\ge 0}{{\left(x^2+x\right)}^2}+\underset{\ge 0}{x^2}+\underset{\ge 0}{{\left(x+1\right)}^2}+1>0$

Suma trzech nieujemnych składników i jednego dodatniego jest zawsze większa od zera.   $■$

Warto zauważyć, że nierówność ${\left(x^2+x\right)}^2+x^2+{\left(x+1\right)}^2+1>0$ byłaby spełniona nawet bez ostatniego składnika (czyli liczby $1$), ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista $x$, która jednocześnie zerowałaby wszystkie trzy składniki wyrażenia.