Wykaż, że równanie
                                                         $-{\mathbf{x}}^4-10{\mathbf{x}}^2-6\mathbf{x}-1=0$
nie ma rozwiązań.

Rozwiązanie

$-x^4-10x^2-6x-1=0|\cdot \left(-1\right)$
$x^4+10x^2+6x+1=0$
$\left(x^4+x^2\right)+\left(9x^2+6x+1\right)=0$
$\underset{\ge 0}{\underbrace{x^2\left(x^2+1\right)}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(3x+1\right)}^2}}=0$
$x^2\underset{>0}{\underbrace{\left(x^2+1\right)}}=0\wedge {\left(3x+1\right)}^2=0$
$x=0\wedge x=-\frac{1}{3}\to x\in \varnothing$

Równanie $x^2\left(x^2+1\right)=0$ zachodzi dla $x=0$, a równanie ${\left(3x+1\right)}^2=0$ dla $x=-\frac{1}{3}$. Nie istnieje zatem taka liczba $x$, która spełniałaby oba równania jednocześnie.                       $■$