Jednym z rozwiązań równania $2x^3+a{x}^2+bx+19=0$, gdzie $a,b\in \mathbb{Z}$, jest liczba $1-\sqrt{2}$.
Wyznacz wartości współczynników $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$2{\left(1-\sqrt{2}\right)}^3+a{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2+b\left(1-\sqrt{2}\right)+19=0$
$2\left(1-3\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}\right)+a\left(1-2\sqrt{2}+2\right)+b\left(1-\sqrt{2}\right)+19=0$
$2\left(7-5\sqrt{2}\right)+a\left(3-2\sqrt{2}\right)+b\left(1-\sqrt{2}\right)+19=0$
$14-10\sqrt{2}+3a-2\sqrt{2}a+b-\sqrt{2}b+19=0$
$\sqrt{2}\left(-10-2a-b\right)+\left(33+3a+b\right)=0$

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}-10-2a-b=0\\ 33+3a+b=0\end{array}\to \underset{+}{}\{\begin{array}{l}-2a-b=10\\ 3a+b=-33\end{array} \\ \overline{} \\ a=-23\to b=36 \end{gathered}$$

Odp.: $a=-23$, $b=36$.