Wielomian $W(x)$ stopnia $4$ spełnia warunki $W(2)=4$ oraz $W(-2)=5$.

Udowodnij, że co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą. 

Rozwiązanie

$W(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

$W(2)=a\cdot 2^4+b\cdot 2^3+c\cdot 2^2+d\cdot 2+e$

$W(-2)=a\cdot {\left(-2\right)}^4+b\cdot {\left(-2\right)}^3+c\cdot {\left(-2\right)}^2+d\cdot \left(-2\right)+e$

$+\{\begin{array}{l}16a+8b+4c+2d+e=4\\ 16a-8b+4c-2d+e=5\end{array}$

$32a+8c+2e=9$

Jeśli każda z liczb $a$, $b$, $c$ byłaby całkowita, to liczby $32a$, $8c$ i $2e$ byłyby parzyste. Suma liczb parzystych jest liczbą parzystą, a $9$ to liczba nieparzysta. Dochodzimy do sprzeczności, co oznacza, że co najmniej jeden z tych współczynników nie jest liczbą całkowitą.                   $■$