Wyznacz współczynniki $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ wielomianu $\mathbf{W}(\mathbf{x})=\mathbf{a}{\mathbf{x}}^3+\mathbf{b}{\mathbf{x}}^2+3\mathbf{x}+5$ wiedząc, że dla każdego $\mathbf{x}\in \mathbb{R}$ prawdziwa jest równość:

$\mathbf{W}(\mathbf{x}-1)-\mathbf{W}(\mathbf{x})=-9{\mathbf{x}}^2+13\mathbf{x}-8$

Rozwiązanie

$W(x-1)=a{\left(x-1\right)}^3+b{\left(x-1\right)}^2+3\left(x-1\right)+5=$
$=a\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+b\left(x^2-2x+1\right)+3x-3+5=$
$=a{x}^3-3a{x}^2+3ax-a+b{x}^2-2bx+b+3x+2$

$W(x-1)-W(x)=a{x}^3-3a{x}^2+3ax-a+b{x}^2-2bx+b+3x+2-a{x}^3-b{x}^2-3x-5=$
$=-3a{x}^2+3ax-2bx-a+b-3=-3a{x}^2+\left(3a-2b\right)x+\left(-a+b-3\right)$

$\{\begin{array}{l}-3a=-9\\ 3a-2b=13\\ -a+b-3=-8\end{array}$               $\{\begin{array}{l}a=3\\ 3a-2b=13\to 3\cdot 3-2\cdot \left(-2\right)=9+4=13\\ -a+b=-5\to -3+b=-5\to b=-2\end{array}$

Odp.: $a=3$, $b=-2$