Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $8$. Odcinki $AB$ i $BC$ są równej długości, a przekątna $AC$ dzieli kąt $\sphericalangle BCD$ na dwie kąty o mierze równej $30^{\circ }$.
Oblicz obwód czworkąta $\mathbf{ABCD}$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, więc
$|\sphericalangle BAC|=30^{\circ }$ i $|\sphericalangle ABC|=120^{\circ }$.

Niech $\left|AB\right|=\left|BC\right|=x$ i $\left|AC\right|=y$.
Z twierdzenia sinusów w trójkącie $△ABC$ mamy:
$\frac{x}{\sin 30^{\circ }}=2R=16$    $\to$    $x=16\sin 30^{\circ }=16\cdot \frac{1}{2}=8$
$\frac{y}{\sin 120^{\circ }}=16$    $\to$    $y=16\sin 120^{\circ }=16\sin 60^{\circ }=16\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$
Z twierdzenia sinusów w trójkącie $△ADC$ widać, że: $\frac{\left|AD\right|}{\sin 30^{\circ }}=2R=16$, więc $\left|AD\right|=8$

Skoro czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg to:
$|\sphericalangle BAD|=180^{\circ }-|\sphericalangle BCD|=120^{\circ }$    $\to$    $\left|\sphericalangle CAD\right|=120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$
Skoro kąt $CAD$ jest prosty, to odcinek $CD$ jest średnicą okręgu, czyli: $\left|CD\right|=2r=16$