Zadanie 3. Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ zachodzi równość
$\cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha -\sin \alpha \cdot {\cos }^2\alpha ={\sin }^3\alpha$.

Rozwiązanie

$L=\cos \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha -\sin \alpha \cdot {\cos }^2\alpha =\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\sin \alpha \cdot {\cos }^2\alpha =\sin \alpha -\sin \alpha \cdot {\cos }^2\alpha =$

$=\sin \alpha \left(1-{\cos }^2\alpha \right)=\sin \alpha \left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha \right)=\sin \alpha \cdot {\sin }^2\alpha ={\sin }^3\alpha =P$

Otrzymaliśmy, że $L=P$, czyli podana równość zachodzi dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$,
co kończy dowód.