(Tożsamości trygonometryczne to równości prawdziwe dla wszystkich kątów, dla których ta tożsamość została określona)

 

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Dla dowolnego kąta $\alpha$ prawdziwe są zależności

1. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

2. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$,  gdzie $\cos \alpha \ne 0$

 

Uwaga

Zapis ${\sin }^2\alpha$ oznacza ${\left(\sin \alpha \right)}^2$.

Zapis ${\cos }^2\alpha$ oznacza ${\left(\cos \alpha \right)}^2$.

Tożsamość ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ nazywamy jedynką trygonometryczną. 

 

---

 

Przykład 1. Niech $\alpha$ będzie kątem ostrym. Uprość podane wyrażenia.

a) $1+{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =2{\sin }^2\alpha$

 

 

 

Zadanie 4. Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$, przedstawiono kąt $\alpha$, o którym wiadomo, że $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ oraz $\mathrm{tg}\alpha =-4$.

rysunek P=(-1,4)

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.

Prawdziwa jest zależność

A.  $\sin \alpha <0$

B.  $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$

C.  $\sin \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha <0$

D.  $\cos \alpha =-4\sin \alpha$

E.  $\sin \alpha =-4\cos \alpha$

F.  $\sin \alpha =-\frac{1}{4}\cos \alpha$

 

Rozwiązanie

$\mathrm{tg}\alpha =-4$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-4|\cdot \cos \alpha$

$\sin \alpha =-4\cos \alpha$

 

Zadanie 2. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\sin \alpha -{\cos }^2\alpha \cdot \sin \alpha$ można zapisać w postaci

A.  $\left(-\sin \alpha {\cos }^2\alpha \right)$                    B.  ${\sin }^2\alpha$                    C.  ${\sin }^3\alpha$                    D.  $2{\sin }^2\alpha$

Rozwiązanie

$\sin \alpha -{\cos }^2\alpha \cdot \sin \alpha =\sin \alpha \left(1-{\cos }^2\alpha \right)=\sin \alpha \cdot {\sin }^2\alpha ={\sin }^3\alpha$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1|-{\cos }^2\alpha$

${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$

 

---

 

 

Zadanie 3. Dany jest kąt ostry $\alpha$ i prawdziwa jest równość $2\mathrm{tg}\alpha -\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}{\cos }^2\alpha$.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Tangens kąta $\alpha$ wynosi $\stackrel{\frac{1}{4}}{{}_{...................}}$.

Rozwiązanie

$2\mathrm{tg}\alpha -\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha =\frac{1}{2}{\cos }^2\alpha |+\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha$

$2\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}{\cos }^2\alpha +\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha$

$2\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}{\sin }^2\alpha +\frac{1}{2}{\cos }^2\alpha$

$2\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)$

$2\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}\cdot 1$

$2\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}|:2$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{4}$

 

 

---

 

 

 

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\sin \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha +\cos \alpha$ można zapisać w postaci

A.  $2\cos \alpha$                    B.  $\frac{1}{\cos \alpha }$                    C.  $\frac{1}{\sin \alpha }$                    D.  $\sin \alpha$

Rozwiązanie

$\sin \alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha +\cos \alpha =\sin \alpha \cdot \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\cos \alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }+\cos \alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha }$