Przykład 1. Ciągi $\left(a_n\right)$ i $\left(b_n\right)$ są określone dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ za pomocą następujących wzorów ogólnych:

$a_n=\frac{n-1}{2},b_n=-\frac{3}{2}\cdot 7^n$ 

Sprawdź, czy któryś z tych ciągów jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie

$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{-\frac{3}{2}\cdot 7^{n+1}}{-\frac{3}{2}\cdot 7^n}=\frac{7^{n+1}}{7^n}=7^{n+1-n}=7^1=7⟵\underset{\text{(nie zalez˙y od}n)}{\mathrm{stała}}$

$b_n=-\frac{3}{2}\cdot 7^n$

$b_{n+1}=-\frac{3}{2}\cdot 7^{n+1}$

Ciąg $\left(b_n\right)$ jest geometryczny.