Podział:

1: wybranie odp. A-D, zadania z ułamkami, geometria.

2: solanki, wiem, prędkość

---

Przyjrzymy się teraz kilku typom zadań  tekstowym, w których zastosujemy układy równań.
Przejdziemy od razy do problemów typu maturalnego.

W zadaniach otwartym naszym celem będzie ułożenie odpowiedniego układu równań opisującego  sytuację podaną w zadaniu, a następnie trzeba będzie rozwiązać go wybraną przez siebie metodą. Możemy też spotkać się z zadaniami, w których mamy kilka proponowanych odpowiedzi z układami równań i musimy wybrać który z nich opisuje sytuację podaną w zadaniu. Zadanie takie może jedną poprawną odpowiedź lub dwie, natomiast taka informacja, ile odpowiedzi należy wybrać, będzie podana w poleceniu zadania.

Zaczynamy!

W zadaniu numer jeden...

---

Zadanie 1. Dany jest pewien nieskracalny dodatni ułamek. Jeśli do licznika i do mianownika tego ułamka dodamy połowę jego mianownika, to otrzymamy liczbę $\frac{3}{4}$, natomiast jeśli do licznika tego ułamka dodamy $7$, a do mianownika dodamy $1$, to otrzymamy liczbę $\frac{4}{3}$. Wyznacz ten ułamek. 

Rozwiązanie

Niech $\frac{x}{y}$ to szukany dodatni nieskracalny ułamek.

$\{\begin{array}{l}\frac{x+\frac{1}{2}y}{y+\frac{1}{2}y}=\frac{3}{4}\\ \frac{x+7}{y+1}=\frac{4}{3}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4\left(x+\frac{1}{2}y\right)=3\left(y+\frac{1}{2}y\right)\\ 3\left(x+7_{}\right)=4\left(y+1\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x+2y=3\cdot 1\frac{1}{2}y\\ 3x+21=4y+4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x+2y=3\cdot \frac{3}{2}y\\ 3x+17=4y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x=\frac{9}{2}y-2y\\ 3x+17=4y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}8x=9y-4y\\ 3x+17=4y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}8x=5y\\ 3x+17=4y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{8}y\\ 3\cdot \frac{5}{8}y+17=4y\end{array}$

$\frac{15}{8}y+17=4y$

$15y+136=32y$

$136=17y$

$y=8$

$x=\frac{5}{8}\cdot 8=6$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=8\end{array}$

Odp.: Szukany ułamek to $\frac{5}{8}$.

---

Przechodzimy do zadań z wiekiem. Gdy w zadaniu mamy podane różne odcinki czasowe, to warto wpisać dane podane w zadaniu do pomocniczej tabeli.

Zadanie 2. Trzy lata temu ojciec był trzy razy starszy od córki Za dziesięć lat oboje będą mieli razem $90$ lat. Oblicz, ile lat ma obecnie ojciec.

Rozwiązanie

$x$ - wiek córki 3 lata temu

$y$ - wiek ojca 3 lata temu

	3 lata temu	teraz	za 10 lat
OJCIEC	$y$	$y+3$	$y+10+3=y+13$
CÓRKA	$x$	$x+3$	$x+13$

$\{\begin{array}{l}y=3x\\ y+13+x+13=90\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=3x\\ y+x=90-26\end{array}$

$3x+x=64$

$4x=64$

$x=16$

$\{\begin{array}{l}y=3\cdot 16\\ x=16\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=48\\ x=16\end{array}$

Wiek ojca obecnie:

$x+3=48+3=51$

Odp.: Ojciec ma obecnie $51$ lat.

---

Przyjrzymy się teraz do zadaniom procentowym. Zrobimy zadanie ze stężeniem procentowym. Taki typ zadania robi się analogicznie jak zadania ze stopami metali.

Zadanie 3. W naczyniu zmieszano solankę o stężeniu $4\%$ z solanką o stężeniu $2,5\%$. Ile gramów solanki $4$ -procentowej użyto, skoro w naczyniu powstało $3,75\mathrm{kg}$ solanki o stężeniu $3,4\%$.

Rozpoczniemy od pomocniczego rysunku:

 

Możemy stworzyć następujący układ równań:

$\{\begin{array}{l}4\%\cdot x+2,5\%\cdot y=3,4\%\cdot 3,75\\ y+x=3,75\end{array}$

$\{\begin{array}{l}0,04x+0,025y=0,034\cdot 3,75\text{|}\cdot 100\\ y+x=3,75\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x+2,5y=3,4\cdot 3,75\\ y+x=3,75\end{array}$

$\{\begin{array}{l}4x+2,5y=12,75\\ x=3,75-y\end{array}$

$4\cdot \left(3,75-y\right)+2,5y=12,75$

$15-4y+2,5y=12,75$

$-1,5y=-2,25$

$y=\frac{2,25}{1,5}=\frac{225}{150}=1,5$

$x=3,75-1,5=2,25$

$\{\begin{array}{l}x=2,25\\ y=1,5\end{array}$

Użyto $2,25\mathrm{kg}$ solanki o stężeniu $4\%$.

$2,25=2250\text{g}$

Odp.: Użyto $2250\text{g}$ solanki o stężeniu $4$-procentowym.

---

Zadanie 4. Pewien pociąg pokonał trasę 190 km w czasie dwóch godzin i 10 minut. Wiadomo, że pierwszy odcinek tej trasy jechał z prędkością 100 km/h, natomiast drugi odcinek trasy jechał z prędkością 60 km/h. Jaka była długość drugiego odcinka tej trasy.

Rozwiązanie 

 

---

Zadanie 5. Pani Kasia dostała wypłatę w gotówce. Dostała banknoty o nominałach $200\text{zł}$, $100\text{zł}$ i $50\text{zł}$. Wiadomo, że Pani Kasia zarabia netto $5250\text{zł}$. Banknotów $100$-złotowych dostała dwa razy mniej niż banknotów $200$-złotowych, natomiast banknotów $50$-złotowych dostała o $5$ mniej niż banknotów $100$-złotowych. Niech $x$ oznacza liczbę banknotów $100$-złotowych, a $y$ - liczbę banknotów $50$-złotowych, które dostała Pani Kasia. Wybierz układ równań opisujący sytuację podaną w zadaniu, który prowadzi do obliczenia liczb $x$ i $y$. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. $\{\begin{array}{l}x=y-5\\ 2x\cdot 200+100x+50y=5250\end{array}$                              B. $\{\begin{array}{l}x-y=-5\\ \frac{1}{2}x\cdot 200+100x+50y=5250\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}y-x=-5\\ 2x\cdot 200+100x+50y=5250\end{array}$                              D. $\{\begin{array}{l}y=x-5\\ \frac{1}{2}x\cdot 200+100x+50y=5250\end{array}$

Rozwiązanie

$x$ - liczba banknotów $100$-złotowych

$y$ - liczba banknotów $50$-złotowych

Pani Kasia dostała dwa razy więcej banknotów $200$-złotowych niż banknotów $100$-złotowych.

$2x$ - liczba banknotów $200$-złotowych

$\{\begin{array}{l}y=x-5\\ 2x\cdot 200+100x+50y=5250\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-x=-5\\ 2x\cdot 200+100x+50y=5250\end{array}$

Odp. C

---

Zadanie 6. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości $a$ i ramieniu długości $b$. Ramię tego trójkąta jest o $3$ dłuższe od podstawy, natomiast obwód trójkąta jest równy $24$.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród A-F i wpisz te litery w wykropkowane miejsca.

Zależność pomiędzy długościami boków tego trójkąta została zapisana w układach równań oznaczonych literami: ........... i ........... .

A. $\{\begin{array}{l}b=a+3\\ 2b+a=30\end{array}$                              B. $\{\begin{array}{l}a-b=3\\ 30=2a+b\end{array}$                  C. $\{\begin{array}{l}b=3a\\ 2a+b=30\end{array}$                                                                                        D. $\{\begin{array}{l}b=3a\\ 2b+a=30\end{array}$                             E. $\{\begin{array}{l}b-a=3\\ 30=2b+a\end{array}$                   F. $\{\begin{array}{l}b-a=3\\ b+a=30\end{array}$

Rozwiązanie

$a$ - długość podstawy

$b$ - długość ramienia

1. Ramię tego trójkąta jest o $3$ dłuższe od podstawy.

$b=a+3$

inaczej

$b-a=3$

2. Obwód trójkąta jest równy $24$.

$30=2b+a$

Więc

$\{\begin{array}{l}b=a+3\\ 2b+a=30\end{array}$    lub      $\{\begin{array}{l}b-a=3\\ 30=2b+a\end{array}$

Zależność pomiędzy długościami boków tego trójkąta została zapisana w układach równań oznaczonych literami: ......A..... i .....E...... .