Definicja

Równaniem wymiernym nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $\frac{W\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0$, gdzie $W\left(x\right)$ i $Q\left(x\right)$ są wielomianami oraz $Q\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym.

 

 

Etapy rozwiązywania równania wymiernego

1. Wyznaczenie dziedziny.

2. Rozwiązanie równania.

3. Uwzględnienie dziedziny i zapisanie odpowiedzi. 

 

 Przykład 1. Rozwiąż równanie.

a) $\frac{x+11}{x-5}=0$

Dziedzina:

$x-5\ne 0$

$x\ne 5$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{5\right\}$

Rozwiązanie równania:

$\frac{x+11}{x-5}=0|\cdot \left(x-5\right)$

$x+11=0$

$x=-11\in D$

Odp.: $x=-11$

 

b) $\frac{2x-3}{4x-5}=2$

Dziedzina:

$4x-5\ne 0$

$4x\ne 5|:4$

$x\ne 1\frac{1}{4}$

Rozwiązanie równania:

$\frac{2x-3}{4x-5}=2|\cdot \left(4x-5\right)$

$2x-3=2\left(4x-5\right)$

$2x-3=8x-10$

$-6x=-7|:\left(-6\right)$

$x=1\frac{1}{6}\in D$

Odp.: $x=1\frac{1}{6}$

 

c)  $\frac{4x+2}{\left(2x+1\right)\left(x^2-4\right)}=0$

Dziedzina:

$\left(2x+1\right)\left(x^2-4\right)\ne 0$

$\begin{array}{ccc}2x+1\ne 0& \text{i}& x^2-4\ne 0\\ 2x\ne -1& & x^2\ne 4\\ x\ne -\frac{1}{2}& & x\ne 2\text{i}x\ne -2\end{array}$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2,-\frac{1}{2},2\right\}$

Rozwiązanie równania:

$\frac{4x+2}{\left(2x+1\right)\left(x^2-4\right)}=0|\cdot \left(2x+1\right)\left(x^2-4\right)$

$4x+2=0$

$4x=-2|:4$

$x=-\frac{1}{2}\notin D$

Odp.: Równanie sprzeczne.

---

 

Zadanie x. Dane jest równanie $\frac{\left(x^2-25\right)\left(5x+5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=0$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Dziedziną tego równania jest $\mathbb{R}\setminus \left\{-5,5\right\}$.	P	F
Podane równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

$\left(x-5\right)\left(x+5\right)\ne 0$

$x-5\ne 0\text{i}x+5\ne 0$

$x\ne 5x\ne -5$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-5,5\right\}$

Zdanie drugie

$\frac{\left(x^2-25\right)\left(5x+5\right)}{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=0|\cdot \left(x-5\right)\left(x+5\right)$

$\left(x^2-25\right)\left(5x+5\right)=0$

$\begin{array}{ccc}{x}^2-25=0& \text{lub}& 5x+5=0\\ x^2=25& & 5x=-5\\ \underset{\notin \text{D}}{\underbrace{x=5}}\text{lub}\underset{\notin \text{D}}{\underbrace{x=-5}}& & \underset{\in \text{D}}{\underbrace{x=-1}}\end{array}$

Rozwiązaniem tego równania jest $x=-1$. Równanie to ma jeden pierwiastek rzeczywisty.

 

---

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $\frac{\left(x^2-x\right)\left(2x+4\right)\left(x-1\right)}{x^2-1}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

A.

 

 

 

 

Zadanie x. Dane są równania $6\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(4x-8\right)=0$ oraz $\frac{6x+3}{4x-8}=0$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wspólnym pierwiastkiem tych równań jest liczba 

A.  $\left(-\frac{1}{2}\right)$                         B.  $\frac{1}{2}$                         C.  $\left(-2\right)$                         D.  $2$

Rozwiązanie

$6\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(4x-8\right)=0|:6$

$\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(4x-8\right)=0$

$x+\frac{1}{2}=0\text{lub}4x-8=0$

$x=-\frac{1}{2}4x=8|:4$

$x=2$

$x\in \left\{-\frac{1}{2},2\right\}$

 

$\frac{6x+3}{4x-8}=0$

Dziedzina: $4x-8\ne 0$

$4x\ne 8|:4$

$x\ne 2$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}$

 

$\frac{6x+3}{4x-8}=0|\cdot \left(4x-8\right)$

$6x+3=0$

$6x=-3|:6$

$x=-\frac{1}{2}$

 

Zadanie x. Dane jest równanie $\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+1}{3x+1}$.

Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż równanie. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Dziedzina:

$\begin{array}{ccc}x+2\ne 0& \text{i}& 3x+1\ne 0\\ x\ne -2& & 3x\ne -1\\ & & x\ne -\frac{1}{3}\end{array}$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2,-\frac{1}{3}\right\}$

 

$\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+1}{3x+1}$,   $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2,-\frac{1}{3}\right\}$

$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)=\left(x+2\right)\left(x+1\right)$

$3x^2+x-3x-1=x^2+x+2x+2$

$3x^2-2x-1=2x^2+3x+2$

$2x^2-5x-3=0$

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49\to \sqrt{\Delta }=7$

$x_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\in D$

$x_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3\in D$ 

Odp.: $x\in \left\{-\frac{1}{2},3\right\}$

 

Dla $b\ne 0$ i $d\ne 0$ proporcję

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

można przedstawić jako równość

$ad=bc$